Question

Zeigen Sie fur ¨ k ∈ N:

lim      (x^k-a^k)/(x-a)    =  ka^k-1

x->a

Aufgabe ist klar, bloß ich bin rechnerisch nicht weiter gekommen und das x-> a ist komisch

ich lass erst laufen

dann steht da

a hoch k minus a hoch k durch a minus a, also nicht zuerst limes. wie soll ich sonst anfangen?

lim     (e^x-1)/x   =1

x->0

und dann noch

lim      sin x / x    =1

x-> 0

ich hab noch nie den limes gegen 0 laufen lassen, also die x durch 0 ersetzen und da steht wirklich einfach sinus nur mit x und ihne klammer da, keine ahnung was das bedeutet :c

pls help me

Comments

Darfst du die L'Hospital-Regel benutzen? Bzw. kennst du die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten?

Alle Brüche sind Differenzenquotienten der jeweiligen Funktionen an der Stelle \(x= a\) bzw. \(x= \).

Es ist sozusagen immer \(f^{\prime}(a)\) bzw. \(f^{\prime}(0)\) gefragt.

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ja, aber da kam ich auch nicht weiter

weil da haste ja im bruch zwei abbleitungen, aber als "von x", also bla bla (x), also so war es in den Vorlesungen und mit praktischen Zahlen und Variabeln haben die uns das nicht gezeigt und da kam ich auch immer nur aufs falsche raus, hast du da nh Idee?

Answer 1

Wenn Ableitungen bekannt sind, dann hast du:

(1)\(f(x) = x^k \Rightarrow f'(a) =ka^{k-1} \) (Hier ist \(x=a\) die Differentiationsstelle.)

(2)\(f(x) = e^x \Rightarrow f'(0) =e^0 = 1 \)

(3)\(f(x) = \sin x \Rightarrow f'(0) =\cos 0 = 1 \)

Benutze einfach

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)$$

Bei (1) x=a, (2) x=0, (3) x= 0.

Beispiel:

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^0}{x-0} = \left.\frac d{dx}\left(e^x\right)\right|_{x=0} = e^0 = 1$$

Comments

ja, aber das sind ja ableitungen und ich soll ja von den limes von bla bla ist gleich bla bla zeigen, kann ich das dann einfach so machen?

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Wenn Ableitungen bekannt sind, darfst du das. Anderfalls müsste das ausdrücklich bei der Aufgabenstellung ausgeschlossen sein.

Ich ergänz mal ein Beispiel.

Answer 2

\( \frac{x^k-a^k}{x-a} \) = x^n-1+ax^n-2+ a²x^n-3+ ... + xa^k-2+a^k-1

Wenn du hier x=a setzt, stehen da k Summanden der Größe a^k-1.