Wie bestimmt man einen Streck- bzw. Stauchfaktor damit der Graph durch einen gewissen Punkt geht

Question

Frage:

Wie bestimme ich einen Streck bzw Stauchfaktor somit der Graph durch einen gewissen punkt geht

Problem/Ansatz:

ich habe bspw die Aufgabe einen Funktionsterm zu erstellen damit Gf symmetrisch zur y-Achse,  P(0|4) enthält und hat die Nullstellen 2 und 5 hat

Comments

Man bestimmt den gesuchten Streckfaktor a, indem man den gegebenen Punkt P in den Ansatz f(x) = a·(x^2-4)·(x^2-25)  ensetzt.

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Ist das die einzige Möglichkeit? Wenn ja, warum?

Einem Schüler dürfte das seltsam vorkommen.

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Ist das die einzige Möglichkeit?

Möglichkeit der Funktion ?
Nein, es gibt noch einen ganzen Sack voll weiterer Funktionen, die die geforderten Bedingungen erdüllen, aber es gibt nur eine ganzrationale Funktion mit minimalem Grad.

Möglichkeit, den Funktionsterm dieses Polynoms zu bestimmen ?
Nein, aber es ist die bei weitem einfachste.

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Ich habe mich beachtet:

damit Gf symmetrisch zur y-Achse,

Jetzt ist alles klar.

Klassischer Ansatz: ax^4+bx^2+c (in der Schule)

Answer 1

Falls ganzrationale Funktion gesucht: Löse das Gleichungssystem

a*0^4 + b*0^3 + c*0^2 + d*0 + e = 4

a*2^4 + b*2^3 + c*2^2 + d*2 + e = 0

a*5^4 + b*5^3 + c*5^2 + d*5 + e = 0

a*(-2)^4 + b*(-2)^3 + c*(-2)^2 + d*(-2) + e = 0

a*(-5)^4 + b*(-5)^3 + c*(-5)^2 + d*(-5) + e = 0


Das gibt dann so etwas:

Comments

Warum ein Fkt. 4. Grades?

Wie bestimme ich einen Streck bzw Stauchfaktor somit der Graph durch einen gewissen punkt geht

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Sie meinen Kommentar zu Deiner Anwort.

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Ich glaube nicht, dass das in der Schule so vorkommt, wenn es um Streckung geht.

Es geht mW immer um Parabeln.

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Sie meinen Kommentar zu Deiner Anwort.

Deine Parabel ist nicht symmetrisch zur y-Achse.

Answer 2

f(x) = ax^2+bx+c

f(0) = 4 -> c= 4

f(2) = 0

f(5) =0

4a+2b+4 =0

25a+5b+4 =0

--------------------------

-21a -3b= 0

b= -7a

-> 4a+2*(-7a)+4 =0

-10a = -4

a = 0,4

b= -7*0,4 = -2,8

f(x)= 0,4x^2-2,8x+4

0,4(x^2-7x+3,5^2-3,5^2)+4

0,4(x-3,5)^2 -0,9

Der Streckungsfaktor ist 0,4.

Comments

Der Fragesteller schrub: "symmetrisch zur y-Achse".

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Verstehe. Danke.

Dann würde ich aber schreiben. Das ist wohl den Meisten vertrauter.

f(x) = ax^4+bx^2+c

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oder so:

oder sonstwas.

Answer 3

ich habe bspw die Aufgabe einen Funktionsterm zu erstellen damit Gf symmetrisch zur y-Achse, P(0|4) enthält und hat die Nullstellen 2 und 5 hat

Es gibt verschiedene Möglichkeiten anzufangen:

Entweder mit Linearfaktoren oder mit der allgemeinen Form.

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Linearfaktoren:

Die Nullstellen liegen bei 2 und 5. Wegen der Symmetrie liegen auch welche bei -2 und -5.

--> f(x) = a(x-2)(x+2)(x-5)(x+5)

Außerdem ist f(0)=4 gegeben.

4 = a•(-2)•2•(-5)•5 =100a

--> a=4/100=0,04

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Allgemeine Form:

f(x)=ax^4+cx²+e

Nun die Koordinaten der drei gegebenen Punkte einsetzen.

f(0)=4 → e=4

f(2)=0 → 0=16a+4c+4

f(5)=0 → 0=625a+25c+4

...

f(x)=0.04x^4 -1.16x² +4

:-)