c ) Wie lautet die Gleichung der Tangente an fa im Schnittpunkt mit der y - Achse?

Question

Aufgabe:

12. Gegeben ist die Kurvenschar f ( x ) = ax + e ^(-x), a > 0 .

a ) Führen Sie eine Kurvendiskussion durch ( Ableitungen , Extrema , Wendepunkte , Verhalten für x gegen ±♾ ) .

b ) Zeichnen Sie die Graphen von f1 und f2 für -2 ≤ x ≤ 3 .

c ) Wie lautet die Gleichung der Tangente an fa im Schnittpunkt mit der y - Achse ?

d ) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortslinie der Extrema von fa.

e ) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von fa.

f) Gesucht ist der Inhalt der Fläche A , die im 1. Quadranten zwischen dem Graphen dem Graphen von ga ( x ) = a + e^(-x) und der y - Achse liegt . Für welchen Wert von a hat diese Fläche den Inhalt 1 ?

Problem/Ansatz:

Hallo, Ich bin gerade beim Üben von Funktionsscharen, habe in 3 Tagen meine Klausur und bin einige Aufgaben, gestoßen, die ich nicht wirklich machen konnte.

Ich wäre heden echt dankbar, wenn die Lösungen mit Rechnung angegeben werden würden und gegebenenfalls mit einer kurzen Erklärung, denn ich würde es gerne verstehen.

Answer 1

Wo liegen denn jetzt die Probleme? Nur bei Aufgabe c oder auch schon beim Zeichnen?

Konntest du wenigstens die Ableitungen?

c) Wie lautet die Gleichung der Tangente an fa im Schnittpunkt mit der y - Achse ?

f(x) = e^(-x) + a·x
f'(x) = a - e^(-x)

Tangente an der Stelle x = 0

t(x) = f'(0)·(x - 0) + f(0) = (a - 1)·x + 1

Answer 2

Wie lautet die Gleichung der Tangente an fa im Schnittpunkt mit der y - Achse ?

Schnittpunkt ist ( 0 ; f_a(0) ) = ( 0 ; 1 )

Steigung der Tangente ist f_a ' (0) = a - e^0 = a-1

Also Gleichung der Tang:  y = (a-1)*x + 1.

Answer 3

t(x) = (x-0)*f '(0) + f(0)

Answer 4

12. Gegeben ist die Kurvenschar \(f ( x ) = a*x + e^{-x},   a > 0 \)

.c ) Wie lautet die Gleichung der Tangente an fa im Schnittpunkt mit der y - Achse ?

\(f ( 0 ) = e^{0}=1\)     \(S(0|1)\)

\(f ´( x ) = a + e^{-x}*(-1)=a - e^{-x} \)

\(f ´( 0 ) =a - e^{0}=a-1 \)

\( \frac{y-1}{x-0}=a-1  \)

\( y=(a-1)*x+1  \)