beweise oder widerlegen Sie

Question

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Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) Die Zuordnung
\( \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} \frac{1}{2} \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} \frac{3}{2} \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right) \)
lässt sich zu einer linearen Abbildung \( f: V_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{2}(\mathbb{R}) \) fortsetzen.
(b) Sei \( V \) ein zwei-dimensionaler \( K \)-Vektorraum und \( \underline{B} \) eine Basis von \( V \). Eine lineare Abbildung \( f: V \rightarrow V \) heißt Drehung bezüglich \( \underline{\mathrm{B}} \), wenn \( \mathrm{Mat} \underline{\underline{\mathrm{B}}}(f) \) von der Gestalt
\( \left(\begin{array}{cc} \cos (\theta) & -\sin (\theta) \\ \sin (\theta) & \cos (\theta) \end{array}\right) \)
für ein \( \theta \in[0,2 \pi) \) ist. Ist \( f \) eine Drehung bezüglich einer Basis \( \underline{\mathrm{B}} \), so ist die duale Abbildung \( f^{*}: V^{*} \rightarrow V^{*} \) eine Drehung bezüglich der dualen Basis \( \underline{\mathrm{B}}^{*} \) von \( \underline{\mathrm{B}} \).

ich hab bei beidem raus, dass es unwahr ist, könnt ihr mir eure Meinung dazu sagen`?

Answer 1

(a) findest du hier:
https://www.mathelounge.de/982952/beweisen-oder-widerlegen-zuordnung-lineare-abbildung

(b) Hier habe ich heraus, dass die darstellende Matrix von \(f^*\) bzgl.

der Dualbasis \(e_1^*,e_2^*\) eine Drehmatrix zum Winkel \(-\theta\) ist.

Zu (b):
Die Elemente des Dualraumes kann man bzgl. der Dualbasis
als Zeilenvektoren auffassen: \(e_1^*=(1,0),\; e_2^*=(0,1)\)

Es ist dann mit \(A:=A_f\):
\(f^*(e_1^*)=e_1^*\cdot A=(1,0)\cdot A=(\cos \theta, -\sin \theta)=(\cos \theta)e_1^*+(-\sin \theta)e_2^*\), ebenso
\(f^*(e_2^*)=e_2^*\cdot A=(0,1)\cdot A=(\sin \theta, \cos \theta)=(\sin \theta)e_1^*+(\cos \theta)e_2^*\),

also ist die darstellende Matrix von \(f^*\) die Matrix$$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta&\sin\theta\\-\sin \theta&\cos\theta\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos(-\theta)&-\sin(-\theta)\\\sin(- \theta)&\cos(-\theta)\end{array}\right)$$

Comments

hallo, eine Frage: wie kommst du auf b? also hast du einen Ansatz für den Beweis?

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Habe meine Antwort ergänzt.