Zeige, dass die zwei Funktionen beschränkt sind, mithilfe Lipschitz

Question

Hallo,

ich habe zwei Lipschitz-stetige Funktionen, g,h: M-> ℝ mit M⊆ℝ.

Ich muss zeige, wenn M beschränkt ist, sind auch g,h beschränkt. Hierbei ist M nicht kompakt.

Problem/Ansatz:

Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter, auch mithilfe der Definitionen komme ich auf keinen grünen Zweig.

Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen und evtl. ein klein wenig Zwischenschritte erklären, danke!

Answer 1

Benutze, dass \(|x-y|\leq |x|+|y|\leq 2K\) ist für \(x,y\in M\),

wenn \(K\) eine obere Schranke von \(\{|x|:\; x \in M\}\) ist.

Comments

Dankeschön! Irgendwie komme ich trotzdem nicht weiter. Das Thema liegt mir nicht sonderlich…

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Wenn \(L\) eine Lipschitzkonstante für \(f\) ist,
dann ist doch \(|f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|\leq L\cdot 2K\).

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Ah danke, so meinst du es! Weil wir hatten als Definitionen von Lipschitz:

∃c>0 ∀x∈M: |f(x)|≤c. Aber dann probiere ich deine Methode mal :)

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Nein, das ist nicht die Definition von Lipschitz,
sondern die Definition von "f ist beschränkt".

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Wenn ich dann stehen hab, dass ≥L2K gilt, heißt es ja, dass f wegen dem K nach oben beschränkt ist.

Aber wegen der Definition von f beschränkt (die ich oben fälschlich als Lipschitz geschrieben habe) ist f nicht nur nach oben sondern auch nach unten beschränkt. Stimmt das so? Ich muss nur c:=L2K setzten und f ist beschränkt.

Danke für deine Geduld!

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Naja. Zunächst bekommst ja nur \(|f(x)-f(y)|\leq 2LK\) und nicht

\(|f(x)| \leq 2LK\). Vielleicht ist diese Ungleichung ja sogar falsch?

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Ich stehe komplett auf dem Schlauch

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Es ist doch bisher nur gezeigt worden, dass die Differenzen

f(x)-f(y) beschränkt sind. Hast du eine Idee, wie man

daraus beweisen kann, dass die f(x) dann auch

selbst beschränkt sind?

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Weil f Lipschitz-stetig, ist sie ja in jedem Punkt Lipschitz stetig. Und weil wir jetzt wissen, dass die Differenzen beschränkt sind, so ist f auch in jedem Punkt beschränkt?

Ich bezweifle, dass das ausreichend ist.

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Oder den Nulltrick anwenden:

|f(x)|=| f(x)-f(y)+f(y)|≤|f(x)-f(y)|+f(y)| ≤ 2LK + |f(y)|

So in der Art?

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Ja. Das ist der richtige Weg. Nimm ein festes \(y\in M\) und dann ist

in der Tat \(|f(x)| \leq 2LK+|f(y)|\). \(|f(y)|\) ist ja hier dann

eine nichtnegative Konstante.

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Wahnsinnig, danke!!

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Für den Beweis brauche ich also gar nicht, dass M auch nach unten beschränkt ist, da ich nur K als obere Schranke von M benutze.

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Die Beschränktheit einer Menge bedeutet nur, dass die Menge
in einer "Kugel" mit endlichem Durchmesser liegt, also in unserem
1-dimensionalen Fall in einem Intervall endlicher Länge.