Bestimme z in Normal und Polarform

Question

Aufgabe: Löse die Gleichung. Bestimme z in Normal und Polarform

z² = 3 + 3i

Kann mir jemand helfen, z in Normalform zu bestimmen und die Gleichung zu lösen.

Mir ist bis jetzt nur folgendes klar: z= \( \sqrt{18} \) e (45°). Hier weiss ich jedoch nicht, wie man auf die 45° kommen könnte. Ich habe jetzt die Punkte 3 und 3i gezeichnet und gesehen, dass 3+3i die Diagonale vom Quadrat (3*3)wäre und deshalb 45°....

Danke sehr für eure Hilfe

Answer 1

Hallo

Zeichnen um den Winkel zu sehen ist gut, aber Im(z)/Re(z)=tan(φ) sollte man auch wissen. also 3/3=1 und arctan(1)=45°=π/4

dann z^2=2*√3*ei(pi/4+k*2π), k=0,1

Wurzel ziehen = hoch 1/2   dazu hast du das in die Polarform gebracht.. 2 Ergebnisse, die du mit  \( \sqrt{2*√3} \)(cos(α)+isin(α)) wieder in Normalform bringst wobei für α die 2 Winkel eingesetzt werden, die du durch das hoch 1/2 bekommst,

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Deine Überlegungen und Beobachtungen sind korrekt.

Wenn du \(z^2=3+3i\) als Punkt \(\binom{\mathrm{Re}}{\mathrm{Im}}=\binom{3}{3}\) betrachtest und in ein Koordinatensystem einzeichnest, erkennst du den Betrag \(\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}\) und den Winkel \(45^\circ\) der Polarvektors.

Beim Wurzelziehen musst du nun die Wurzel vom Betrag nehmen$$\sqrt{\sqrt{18}}=\left(18^{\frac12}\right)^{\frac12}=18^{\frac14}=\sqrt[4]{18}$$und den Polarwinkel halbieren \(45^\circ\to22,5^\circ\).

Wenn du nun noch beachtest, dass die Gleichung \((z^2=\cdots)\) zwei Lösungen \((\pm\sqrt{\cdots})\) hat, kannst du das Ergebnis direkt hinschreiben:$$z=\pm\sqrt[4]{18}\,e^{i\,22,5^\circ}=\pm\left(\sqrt[4]{18}\cos(22,5^\circ)+i\,\sqrt[4]{18}\sin(22,5^\circ)\right)$$