Reihensumme mit Fakultäten

Question

Aufgabe:

Die Reihensumme der unendlichen Reihe

 \( \frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{8}x^{4}+\frac{3}{48}x^{6}+\frac{15}{384}x^{8}+\frac{105}{3840}x^{10}+... \)

soll für ein x < 1 berechnet werden.

Problem/Ansatz:

Die Reihe

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{(2n)!}{ n! \cdot (n+1)! \cdot 2^{2n+1}} \cdot x^{2(n+1)}=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{8}x^{4}+\frac{3}{48}x^{6}+\frac{15}{384}x^{8}+\frac{105}{3840}x^{10}+... \)

konvergiert für |x| < 1 .

Ich möchte die Reihensumme für ein beliebiges x < 1 berechnen.

Die Reihe ist auf den ersten Blick keine geometrische oder eine ähnliche bekannte Reihe. Ich habe zunächst versucht, die Fakultäten zu kürzen, allerdings hat das die Sache eher noch komplizierter gemacht.

Wie kann man hier herangehen, um den Grenzwert zu berechnen? Mir fehlt irgendwie der Ansatz. Ein Bekannter sagte mir, wenn Fakultäten im Nenner stehen, dann sieht das oft nach e-Funktion aus.

Wahrscheinlich muss man hier an der richtigen Stelle das Richtige ausklammern, aber wie?

Comments

Deine Reihe scheint nicht zu stimmen. Ich habe$$\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{n!\cdot(n+1)!\cdot2^{2n+1}}\cdot x^{2(n+1)}=\frac12x^2+\frac18x^4+\frac1{16}x^6+\frac5{128}x^8+\frac7{256}x^{10}+\dots$$Das wäre dann gleich \(\displaystyle1-\sqrt{1-x^2}\). Siehe wolframalpha.

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Wie kommt man darauf?

Die Lösung allein ist zu wenig.

In der Prüfung wird das nicht genügen.

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Deine Reihe ist wohl doch richtig, nur sind die Brüche eigenartigerweise nicht gekürzt.
Vielleicht ist folgende Reihe bekannt:$$\frac1{\sqrt{1-4t}}=\sum_{n=0}^\infty\binom{2n}nt^n,$$wobei \(\dbinom{2n}n\) für den mittleren Binomialkoeffizienten steht.
Integrieren liefert$$\int_0^z\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-4t}}=\sum_{n=0}^\infty\binom{2n}n\int_0^zt^n\,\mathrm dt\\\frac12-\frac12\sqrt{1-4z}=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n+1}\binom{2n}nz^{n+1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{n!\cdot(n+1)!}z^{n+1}.$$Nun noch mit \(2\) multiplizieren und \(z\) durch \(\left({\large\frac x2}\right)^2\) ersetzen.