1. Betrachten Sie die Folge (an)n \left(a_{n}\right)_{n} (an)n mitan=(1−1n2)n a_{n}=\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} an=(1−n21)nZeigen Sie, dass die Folge (an)n \left(a_{n}\right)_{n} (an)n konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert. (Tipp: Verwenden Sie die Bernoullische Ungleichung (vgl. Blatt 7, Aufgabe 2) sowie den Sandwichsatz.)2. Folgern Sie mit 1., dasslimn→∞(1−1n)n=1e \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{e} n→∞lim(1−n1)n=e13. Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie (unter Angabe des Lösungsweges) gegebenenfalls den Grenzwert:(a) an=(1+1n)2n a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n} an=(1+n1)2n,(b) bn=(1+1n)n2 b_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} bn=(1+n1)n2(c) cn=((n+1)!n!)n1(n+2)n c_{n}=\left(\frac{(n+1) !}{n !}\right)^{n} \frac{1}{(n+2)^{n}} cn=(n!(n+1)!)n(n+2)n1
1. 1≤(1−1n2)n≤1−n⋅1n2=1−1n1 \le \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \le 1-n\cdot \frac{1}{n^{2}} = 1-\frac{1}{n}1≤(1−n21)n≤1−n⋅n21=1−n1
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Also limn→∞(1−1n2)n=1 \lim\limits_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} = 1 n→∞lim(1−n21)n=1
2. (1−1n2)n=((1+1n)(1−1n))n=(1+1n)n(1−1n)n\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} = \left( (1+\frac{1}{n})(1-\frac{1}{n})\right)^{n} = \left( 1+\frac{1}{n})^n(1-\frac{1}{n}\right)^{n} (1−n21)n=((1+n1)(1−n1))n=(1+n1)n(1−n1)n
Der Term geht für n gegen unendlich ( siehe 1 ) gegen 1.
Der 1. Faktor gegen e , also der zweite gegen 1/e.
Die erste Ungleichung gilt nur für n=1n=1n=1. Richtig ist für alle n∈Nn\in\mathbb Nn∈N:(1−1n2)n≥1−1n\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\ge1-\frac1n(1−n21)n≥1−n1
Ach ja, da war ich wieder mal zu schnell.
Mach ein Sandwich draus:1≥(1−1n2)n≥1−1n1\ge\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\ge1-\frac1n1≥(1−n21)n≥1−n1
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