Zeigen Sie, dass die Folge (a_{n})_{n} konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

Question

1. Betrachten Sie die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) mit
\( a_{n}=\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \)
Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert. (Tipp: Verwenden Sie die Bernoullische Ungleichung (vgl. Blatt 7, Aufgabe 2) sowie den Sandwichsatz.)
2. Folgern Sie mit 1., dass
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{e} \)
3. Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie (unter Angabe des Lösungsweges) gegebenenfalls den Grenzwert:
(a) \( a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n} \),
(b) \( b_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} \)
(c) \( c_{n}=\left(\frac{(n+1) !}{n !}\right)^{n} \frac{1}{(n+2)^{n}} \)

Answer 1

1.  \(1 \le \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \le 1-n\cdot \frac{1}{n^{2}} = 1-\frac{1}{n}\)

Beachte den Kommentar !

Also \(   \lim\limits_{n \to \infty}   \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} = 1 \)

2.  \(\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} = \left( (1+\frac{1}{n})(1-\frac{1}{n})\right)^{n} = \left( 1+\frac{1}{n})^n(1-\frac{1}{n}\right)^{n} \)

Der Term geht für n gegen unendlich ( siehe 1 ) gegen 1.

Der 1. Faktor gegen e , also der zweite gegen 1/e.

Comments

Die erste Ungleichung gilt nur für \(n=1\). Richtig ist für alle \(n\in\mathbb N\):$$\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\ge1-\frac1n$$

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Ach ja, da war ich wieder mal zu schnell.

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Mach ein Sandwich draus:$$1\ge\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\ge1-\frac1n$$