Term mit Potenzen berechnen: 64 : 4^{3-n}. Geben Sie das Ergebnis als Produkt von Potenzen.

Question

Berechnen Sie die folgenden Terme für \( a, x, y \in \mathbb{R}^{+} \). Geben Sie das Ergebnis als Produkt von Potenzen von 2, 3, 5, α, x und y an.

a) 64 : 4^{3-n}

b) \( \sqrt{x^{-2} \sqrt{a \sqrt{x^{-3} a^{-2}}}} \)

Comments

Eine Zusammenstellung von hilfreichen Formeln findest du in den links weit, weit unten:

für Brüche hier: https://www.matheretter.de/wiki/bruch

für Wurzeln hier: https://www.matheretter.de/wiki/wurzel

für Potenzen hier: https://www.matheretter.de/wiki/potenzen

Answer 1

64:4^3-n = 4^3 : 4^{3 - n} = 4^{3 - (3 - n)} = 4^{n} = 2^{2n}

 

(x^{-2} * (a * (x^{-3} * a^{-2})^{1/2})^{1/3})^{1/2}

(x^{-2} * (a * x^{-3/2} * a^{-1})^{1/3})^{1/2}

(x^{-2} * a^{1/3} * x^{-1/2} * a^{-1/3})^{1/2}

x^{-1} * a^{1/6} * x^{-1/4} * a^{-1/6}

x^{-5/4}

Comments

Könnte man die x^-2 auch gleich mit ^1/2 multiplizieren und mit dem Ergnis weiterrechnen und dann dafür hinten weg lassen?

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Ginge auch. Du müsstest aber beide Exponenten aus beiden Faktoren mit 1/2 multiplizieren und nicht nur einen.

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Ja. Man sollte nur daran denken den Exponenten jedes Faktors mit 1/2 zu multiplizieren.

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So würde das dann aussehen:

(x^-2 * (a * (x^-3 * a^-2)^1/2)^1/3)^1/2

= x^-1 * (a * (x^-3 * a^-2)^1/2)^1/6

weiter schaffst du dann alleine oder

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Habe ich verstanden ;) Ich habe mal die i gerechnet: 27a*8a^3/8*x^-1/4

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(27·a^2·(8·a^3·x^{-2})^{1/2})^{1/2}

= (27·a^2·8^{1/2}·a^{3/2}·x^{-1})^{1/2}

= 27^{1/2}·a^1·8^{1/4}·a^{3/4}·x^{-1/2}

= 3^{3/2}·2^{3/4}·a^{7/4}·x^{-1/2}

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In der ersten Zeile bezieht sich die 27a² ja auf die ^1/2 am Ende. Muss ich die1^/2 dann nicht mal die 27a² nehmen? In der zweiten Zeile ist das ^1/2 weg und die 27a² unverändert.

Ich glaube, ich habe das verstanden!

Sorry wenn ich viel fragen, aber ich sehe solche Aufgaben zum ersten mal. Ich bin von der Mittelschule auf die FOS gewechselt und muss dementsprechend viele mathematische Sachen nachholen.

Wenn ich die erste Zeile aufgestellt habe, ist es dann egal wie ich auflöse, ob erst die ^1/2 am Ende oder die ^1/2 davor?

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Ich löse hier von innen nach außen auf und nicht von außen nach innen.

Ich fange mit der Innersten Klammer an und löse diese zuerst auf.

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Aber man könnte theoretisch auch von außen nach anfangen?

Ist zwar umständlich aber mathematisch korrekt, oder?

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Im Prinzip ist es egal ob du von innen nach außen auflöst oder umgekehrt. Du solltest dir nur eine Reihenfolge angewöhnen und beibehalten. Zumindest solange bis du sicher bist.
Später kann man es so vereinfachen wie einem das am zweckmäßigsten erscheint.

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Gut, jetzt wieder fleißig üben! :)

Ich löse gleich mal die letzte Aufgabe k von dem Blatt und schreibe euch die Lösung hier rein, damit einer nochmal drüber schauen kann!

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Schau mal ob du das gleiche heraus bekommst wie ich:

(1/15·a^3·(9·a^{-2}·x^5)^{1/2})^{1/2}

= 5^{-1/2}·a·x^{5/4}

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Die erste Zeile habe ich genauso wie du:

Dann habe ich wie folgt aufgelöst:

(1/15a³*9^0,5*a^-1*x^2,5)^1/2

(1/15)^1/2*a^1,5*9^1/4*a^-0,5*x^1,25

Ich wusste nicht, wie ich die ^1/2 zu 1/15 reinmultipliziere, folgedessen konnte ich auch die 9^1/4 nicht mitwegnehmen, a kann man noch zu a^-3/4 zusammenfassen aber das hast du auch nicht bei deiner Lösung :/

Erklär mit mal meinen Fehler und rechne das nochmal wie die andere Aufgabe oben.

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1/15 = 1/3 * 1/5 = 3^-1 * 5^-1

So jetzt klar wie du 1/15 betrachtest ?

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Ich muss die 1^1/2 nehmen und die 15^1/2

Da kommen aber blöde Dezimalzahlen raus. Kannst du das mal hier darstellen wie du es gemacht hast?

Und wo ist mein Fehler bezüglich a?

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(1/15·a³·(9·a^-2·x⁵)^1/2)^1/2

= (1/15·a³·3·a^-1·x^5/2)^1/2

= 15^-1/2·a^3/2·3^1/2·a^-1/2·x^5/4

= 5^{-1/2}·a·x^{5/4}

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Bei den 1/15:

Wenn ich den Nenner nehme und die 1 weglasse, also nur noch 15, muss ich dann noch ein - vor dem^machen?

Das mit a verstehe ich immer noch nicht. Wir haben ja noch a^3/2 und a^-1/2. Dies ausmultipliziert ergibt a^-3/4, bei dir steht ja nur noch a, also a^1. Wieso?

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a^{3/2} * a^{-1/2}

Man multipliziert 2 Potenzen mit gleicher Basis indem man die Exponenten ADDIERT !

Und 1/15 kann man auch schreiben als 15^{-1}

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Jetzt wird mir einiges klar :)

 

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= 15^-1/2·a^3/2·3^1/2·a^-1/2·x^5/4

= 5^-1/2·a·x^5/4

^{Du hast ja die 15:3 geteilt, aber man darf doch nur teilen wenn man die selben Exponenten hat. Bei 15 haben wir doch ein minus vor 1/2.}

^{Oder spielt das minus keine Rolle?}

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Wie gesagt kannst du 15^{-1/2} auch schreiben als 3^{-1/2} * 5^{-1/2}. Dann kannst du auch verrechnen.

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Ändert aber nichts daran, dass ich bei 3^1/2 habe und bei 15^-1/2.

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15^{-1/2} * 3^{1/2}
= 3^{-1/2} * 3^{1/2}
= 5^{-1/2} * 3^{-1/2} * 3^{1/2}

Was gilt jetzt für den unterstrichenen Term ? Und warum gilt das ?

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Wir haben die gleiche Basis und addieren somit die Hochzahlen. Der Exponent fällt damit weg und wir haben nur noch 15^-1/2*3 und somit 15^-/2. Jetzt ist mir das Ganze erständlich, jedoch bezweifele ich, dass ich alleine auf diesen Gedanken gekommen wäre aber das sind meine ersten Aufgaben zu Potenzen, die ein wenig schwieriger sind. Von daher am Ball bleiben :)

Answer 2

Ok,

die b)

$$\frac{64}{4^{3-n}} = \frac{4^3}{4^{3-n}} = 4^{3-3+n} = 4^n$$

h)

$$\sqrt{x^{-2}\sqrt[3]{a\sqrt{x^{-3}a^{-2}}}}$$

$$=(x^{-2}(a(x^{-3}a^{-2})^{\frac12})^{\frac13})^{\frac12} = x^{-1}(a^{\frac13}( x^{-\frac32}a^{-1})^{\frac13})^{\frac12}$$

$$ = x^{-1}(x^{-\frac12})^{\frac12} = x^{-1}x^{-\frac14} = x^{-\frac54}$$

Bei i und k geht man genau gleich vor -> Umformen der Wurzel in Potenzen und die Potenzgesetze anwenden ;).

Grüße

Comments

Hat schiweriger ausgesehen als es eigentlich ist :)

Bei der Aufgabe f) Muss ich die ³ bei der ersten Klammer auch mal die 8 nehmen oder nur mal die a²?

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Auch auf die 8. Steht ja auch innerhalb der Klammer ;).

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Meine Lösung bei f):

(512a^6*1000x^6)/(3375x^9*46656a^3)

Wenn es stimmt, könnte man das dann noch kürzen?

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Ja, das ist soweit richtig.

Du musst allerdings noch vereinfachen.

Insgesamt ergibt sich 64a^3/(19683x^3) ;).