Reihen für Konvergenz überprufen.

Question

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

(a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{k}}{a^{n}} \quad(k \in \mathbb{N}, a>1) \)
(b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{n}-1)^{n} \)

Kann jemand mir bei diese Aufgabe helfen, oder mindesten sagen welche Kriterium ich benutzen soll.

Comments

oder mindesten sagen welche Kriterium ich benutzen soll.

Wenn Dir schon klar ist, dass Du eines der 4 oder 5 Kriterien verwenden musst, warum probierst Du es nicht einfach aus?

---

Ich habe Quontienten kriterium probiert und komm nicht mehr weiter, die nummern sind zu komplizert und ich weiss nicht wie ich es kürzer machen

---

Dann schreib doch hierhin, wieweit Du gekommen bist. Irgendwer wird dann schon weiterhelfen.

---

Zweitaccount?

https://www.mathelounge.de/986877/uberprufen-sie-die-beiden-folgenden-reihen-auf-konvergenz?show=986878#a986878

---

b)https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+%28n%5E%281%2Fn%29-1%29%5En+from+1+to+infinit

Leider keine Ahnung, wie man auf diesen Wert kommt.

a) ist noch krasser

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+n%5Ek%2Fa%5En+

(Nur als Lösungskontrolle)

Ich bin kein Profi.

---

ne das ist nicht mein zweite konto, bestimmt jemand von meine klasse auch.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{4}}{a^{n}} \\ \frac{(n+1)^{4}}{a^{(n+1)}}: \frac{n^{4}}{a^{n}}=\frac{\left(n+1=\frac{(n+1)^{4}}{a^{(n+1)}}\right.}{a^{(n+1)} \cdot a^{n}}-\frac{(n+1)^{4}}{a^{1} \cdot n^{4}} \\ =\end{array} \)

So weit bin ich gekommen. Ich weiss auch nicht ob das richtig was ich bis jetzt schreibe. Ich dachte handschriftliche text wird in diese seite direkt gelöscht

Answer 1

Jetzt brauchst Du nur noch prüfen, ob der Quotient sich nach oben durch ein q<1 abschätzen lässt:

$$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|=\frac{1}{a}\left(\frac{n+1}{n}\right)^k \to \frac{1}{a} \quad (n \to \infty)$$

Weil 1/a kleiner als 1 ist, existiert ein passendes q<1 und das Quotientenkriterium ist erfüllt.

Für die 2. Aufgabe hilft evtl. die Info: \(\sqrt[n]{n} \to 1\)

Comments

Ok danke, die info für aufgabe 2 hat auch sehr geholfen