Wie berechne ich das Volumen des Körpers?

Question

Aufgabe:

Ein Körper K hat als Grundfläche einen Halbkreis mit Radius r = 5 . Jede Ebene, die K trifft und auf den begrenzenden Durchmesser des Basishalbkreises senkrecht steht, schneidet aus K ein gleichseitiges Dreieck heraus.

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich das Volumen des Körpers?

Answer 1

Hallo,

nach dem ersten Durchlesen der Aufgabe ging ich davon aus, dass der Körper so aussieht

(klick drauf)

Die folgende Berechnung bezieht sich auf den Körper oben. Wenn man sich vorstellt, dass jedes Dreieck zu einer Scheibe erweitert wird, dann ist das Volumen die Summe dieser Scheiben mal der Dicke der Scheibe.$$V = A_{\triangle} \cdot \frac{r}{2}\pi$$Ich habe als Produkt Dicke mal Anzahl den Umfang des Halbkreises bei \(r/2\) gewählt, da die Scheiben nicht gleichmäßig dick sind, sondern wie ein Keil zulaufen. Und die mittlere Dicke liegt eben in der Mitte.

Mit$$A_{\triangle} = \frac12 \cdot \frac12\sqrt 3 \, r \cdot r = \frac14 \sqrt3 \,r^2$$erhält man für das gesuchte Volumen$$V = \frac14 \sqrt3 \,r^2 \cdot \frac r2\pi = \frac18\sqrt3\,\pi r^3$$

Comments

In der Mitte liegt die GRÖSSTE Dicke.

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\(V = \int\limits_{0}^{r}A_{\triangle}dx\) mit \(A_{\triangle} = \frac{a^2}{4}·\sqrt 3\) und \(a =2·\sqrt{r^2-x^2}\)

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Hmm! - ich glaube es gibt unterschiedlichen Vorstellungen, wie dieser Körper aussieht.

Wäre doch zunächst mal zu klären was "der begrenzenden Durchmesser des Basishalbkreises" ist. Mein "Durchmesser" geht immer durch den Mittelpunkt des (Halb-)Kreises.

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Die Schnittebenen stehen senkrecht auf dem Durchmesser, welcher die geradlinige Begrenzung des Halbkreises bildet. Damit geht von den Parallelebenen nur diejenige durch den Mittelpunkt, die den Halbkreis in zwei Viertelkreise teilt..

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Ja ja - ich hab's schon verstanden. Mir sind inzwischen drei verschiedene Interpretationen der Beschreibung von \(K\) eingefallen. Mit drei unterschiedlichen Körpern.

Ich nehme an, Deiner und der von hj sieht so aus:

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Antwort erweitert.

Der Unterschied im Verständnis der Beschreibung von \(K\) liegt in "steht senkrecht auf" gegenüber "steht senkrecht zu"

Answer 2

Mehrere zueinander parallele und zum Durchmesser senkrechte Schnitte zerlegen den Körper in viele kleine Scheibchen, die man näherungsweise als Prisma mit ein gleichseitigen Dreieck als Grundfläche ansehen kann, und die alle die Dicke Δx haben.

Ein gleichseitiges Dreieck der Kantenlänge a hat den Inhalt \( \frac{\sqrt3}{4}a^2 \) .

Die Kantenlänge a eines solchen "Scheibchens" entspricht dem Abstand des entsprechenden Punktes des Halbkreises vom Durchmesser.

Wird der Halbkreis mit \( y=\sqrt{25-x^2} \) beschrieben, gilt an der Stelle x:

\( a=\sqrt{25-x^2} \) und demzufolge \( \frac{\sqrt3}{4}a^2 = \frac{\sqrt3}{4}(25-x^2)\) .

Das Volumen eines solchen Scheibchens ist \(\frac{\sqrt3}{4}(25-x^2)\cdot \Delta x\) .

Das Gesamtvolumen ist dann \(\int\limits_{-5}^{5}\frac{\sqrt3}{4}(25-x^2)dx\)

bzw. unter Ausnutzung der Symmetrie:

\(2\int\limits_{0}^{5}\frac{\sqrt3}{4}(25-x^2)dx\).

Answer 3

Zu Werners Antwort ist nichts mehr hinzuzufügen :)