Lineare Abbildungen und Matrizen mit Phi?

Question

Text erkannt:

Aufgabe 2 (Lineare Abbildungen und Matrizen \( (*) \) ).
Gegeben seien die Vektoren
\( u_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right), u_{2}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right), u_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), u_{4}=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right), w=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 5 \end{array}\right) \)
sowie die lineare Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit:
\( \varphi\left(u_{1}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \varphi\left(u_{2}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \varphi\left(u_{3}\right)=\left(\begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 7 \end{array}\right) \)
a) Zeigen Sie, daß die Vektoren \( \left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) bilden.
b) Berechnen Sie \( \varphi\left(u_{4}\right) \)

Moin, kann ich bei a) einfach zeigen, dass man aus Rechnungen mit u1, u2 und u3 (001) (100) und (010) herausbekommen kann?

und was soll ich bei b) berechnen? Phi von etwas habe ich noch nie gemacht und dazu finde ich auch nichts vernünftiges im Netz.

Text erkannt:

c) Geben Sie einen Vektor \( u_{5} \) an, mit \( \varphi\left(u_{5}\right)=w \).
d) Geben Sie die lineare Abbildung \( \varphi \) in der Form \( \varphi(x)=A x \) an.

bei c) und d) selbes Problem wie bei b), vielen Dank für eure Zeit!

Answer 1

Aloha :)

Die 3 genannten Vektoren bilden genau dann eine Basis des \(\mathbb R^3\), wenn das von ihnen aufgespannte 3-dimensionale Volumen \(\ne0\) ist. Über dieses Volumen gibt die Determinante Auskunft:$$\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\2 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)=1\cdot(-1)-2\cdot1=-3\ne0\quad\checkmark$$Das negative Vorzeichen ist hier nicht relevant, es sagt nur aus, dass die 3 Basisvektoren kein Rechtssystem, sondern ein Linkssystem bilden.

Ohne viel Rechnerei erkennt man schnell, dass:$$\vec w=\frac53\vec u_1+\frac13\vec u_2+5\vec u_3$$Daher ist wegen der Linearität der Abbildung:$$\varphi(\vec w)=\frac53\varphi(\vec u_1)+\frac13\varphi(\vec u_2)+5\varphi(\vec u_3)=\frac13\begin{pmatrix}31\\-8\\108\end{pmatrix}$$