Kriterien für Extremstellen: f(x) = x^4-4x^3

Question

a) Berechnen Sie für die Funktion f mit f(x)=x⁴-4x³ die Werte f'(0), f'''(0), f'(3) und f''(3).

b) Welche Folgerungen kann man daraus für die Stellen x₁=0 und x₂=3 ziehen?

c) Weisen Sie nach, dass die Stelle x₁=0 keine Extremstelle von f ist.

Answer 1

Hi,

f(x) = x^4-4x^3

f'(x) = 4x^3-12x^2

f''(x) = 12x^2-24x

f'''(x) = 24x-24

 

a)

f'(0) = 0

f'''(0) = -24

f'(3) = 0

f''(3) = 36

 

b)

x₁ -> Möglicher Extrempunkt

x₂ -> Wir haben ein Extremum. Da die zweite Ableitung >0 ist, haben wir einen Tiefpunkt

 

c)

Kontrolle von x₁ mit zweiter Ableitung:

f''(0) = 0

Also kein Extrempunkt. Vielmehr eine Wendepunkt. Um genau zu sein ein Sattelpunkt.

 

Grüße