Zunächst ist Differenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft. D.h. "f ist auf \(\R\) differenzierbar" bedeutet: f ist in jedem Punkt \(x \in \R\) differenzierbar. Benötigte Eigenschaften einer Funktionenreihe brauchen daher jeweils nur auf einer Umgebung von x erfüllt sein.
Hinreichende Bedingungen für die Aussage
$$f=\sum_n f_n \Rightarrow f'=\sum_n f'_n \text{ auf } D \sub \R$$
sind, dass die Reihe der Ableitungen gleichmäßig auf D konvergiert und die Reihe der Funktionen in mindestens einem Punkt von D.
