Wie kann man ganz allgemein die Differenzierbarkeit einer Funktionenreihe auf ganz R zeigen?

Question

Aufgabe:

Wie kann man ganz allgemein die Differenzierbarkeit einer Funktionenreihe auf ganz R zeigen?

Problem/Ansatz:

Könnte man mit gleichmäßige konv. Argumentieren ?

Answer 1

Zunächst ist Differenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft. D.h. "f ist auf $\R$ differenzierbar" bedeutet: f ist in jedem Punkt $x \in \R$ differenzierbar. Benötigte Eigenschaften einer Funktionenreihe brauchen daher jeweils nur auf einer Umgebung von x erfüllt sein.

Hinreichende Bedingungen für die Aussage

$$f=\sum_n f_n \Rightarrow f'=\sum_n f'_n \text{ auf } D \sub \R$$

sind, dass die Reihe der Ableitungen gleichmäßig auf D konvergiert und die Reihe der Funktionen in mindestens einem Punkt von D.