Taylorpolynom Ungleichung, Ungleichung zeigen

Question

Aufgabe:

Sei f ∈C²[0,1] mit If´´(x)I<= 1. weiter gilt max_0<=x<=1 f(x)= \( \frac{1}{4} \)

zeigen sie I f(0)I + I f(1)I <= 1

Problem/Ansatz:

Ich habe zwei zentrale Probleme/fragen über die löpsung (1) und (2):

Also da max bei f(x₀)= \( \frac{1}{4} \) gilt f´(x₀)=0

Die Lösung macht eine Abschätzung/darstellung durch das Taylorpolynom. Mir ist allerdings nicht klar wann ich eine Funktion als Taylorpolynom schreiben darf.

(1) f ∈C2 bedeutet doch das f 2 mal diffbar ist oder? Also das die dritte Ableitung 0 ist?

Also quasi: f(0)= f(x0) + f´(x) (0-x0)+ \( \frac{1}{2} \) f´´(x) (0-x0)^2

Das ich das auf kleiner \( \frac{1}{2} \) abschätzen kann ist mir bewusst.

könnte mir das jemand erklären? und auf f(1) <=  \( \frac{1}{2} \) würde man durch diese vorgehen auch kommen.

(2) Aber mir fehlt zentral das wissen wann ich in einem Beweis eine Funktion einfach als Taylorreihe schreiben kann.

Answer 1

Du kannst die Funktion in eine Taylorreihe mit einem Restglied nach Lagrange entwickeln, also

$$ f(x) = f)x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2} f''(\xi) (x-x_0)^2 $$ und \( \xi \in (0,1) \)

Wenn das Maximum im Inneren des Intervalls bei \( x_0 \in (0,1) \) auftritt, wähle als Entwicklungspunkt dieses \( x_0 \), dann folgt \( f'(x_0) = 0 \) und deshalb

$$ |f(x)| \le |f(x_0| + \frac{1}{2} |f''(\xi) (x-x_0)^2 \le \frac{1}{4} + \frac{1}{2} (x-x_0)^2 $$ also

$$ |f(0)| + |f(1)| \le \frac{1}{4} + \frac{1}{2} x_0^2 + \frac{1}{4} +\frac{1}{2}(1-x_0)^2 = \frac{1}{2} +\frac{1}{2}x_0^2 + \frac{1}{2} - x_0 + \frac{1}{2} x_0^2 = 1 + x_0(x_0-1) \le 1 $$ weil \( x_0(x_0-1) \le 0 \) für \( x_0 \in (0,1) \)

Liegt das Maximum am Rand gilt \( |f(0)| + |f(1)| \le \frac{1}{2} < 1 \)

Comments

Dank dir schonmal.  Das Restglied ist im dem fall die zweite Ableitung wegen dem f ∈C^2(0,1) oder versteh ich das jetzt falsch?

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Genau. Du kannst nicht \( f'''\) nehmen, da die Funktion nur als 2-mal differenzierbar vorausgesetzt war. D.h. Du nimmst als Restglied die höst mögliche Ableitung die erlaubt ist. Hier ist es die 2-te Ableitung.

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Tausend Dank.

Answer 2

(1) f ∈C2 bedeutet doch das f 2 mal diffbar ist oder? Also das die dritte Ableitung 0 ist?

Nein, dass es eventuell nicht mehr als 2-mal diffb. ist.

(2) Aber mir fehlt zentral das wissen wann ich in einem Beweis eine Funktion einfach als Taylorreihe schreiben kann.

Schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Funktion#Definition

Comments

Also weil f zwei mal stetig diffbar (wegen demC^2) ist kann man es als Taylorpolynom 2 grades umschreiben oder ?