Linker/rechter Grenzwert an Stelle x

Question

Wie bestimmt man, ohne den graph als Hilfestellung zu nehmen formal die Steigung (es geht um differenzierbarkeit) einer Funktion, speziell die einer fkt mit zb einer knickstelle an x=0 (f(x)= Betrag von x. Man muss ja gucken, ob f'(x) von links der Grenzwert = dem Wert von rechts ist, aber wie berechnet man das? Man kann ja nicht f'(-0,00000001) und f'(0,00000001) miteinander vergleichen, das wäre nicht mathematisch genug ^^

Answer 1

Du nimmst halt den Grenzwert

f(x) = |x|

f'(x) = 1 für x > 0
f'(x) = -1 für x < 0

lim (h → 0+) f'(x + h) = 1

lim (h → 0+) f'(x -h) = -1

Da der rechtsseitige Grenzwert ungleich dem Linksseitigen ist haben wir eine Knickstelle an der die Funktion nicht differenzierbar ist.

Comments

Wieso unstetig?

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sorry. ist natürlich stetig aber nicht differenzierbar. gut aufgepasst.

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Uns wie kommt man rechnerisch auf den Grenzwert? Oder ists schon genug die Stückweise definierte fkt(Ableitung) zu nennen und daraus zu folgern?

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Hier ist das so ohne weiteres möglich, weil die Ableitung ja nicht mehr selbst vom x abhängt.

Answer 2

zum Beispiel mit der h-Methode (h>0 wird beliebig klein):

[f(x+h) - f(x)]/h =

(|x+h|-|x|)/h


1. Fall x>0

(|x+h|-|x|)/h =

(x + h - x)/h = h/h = 1


2. Fall x<0

(|x+h|-|x|)/h =

(-h - x + x)/h = -h/h = -1


Besten Gruß