Man zeige, dass ~ genau dann eine Äquivalenzrelation auf M ist, wenn ~ reflexiv und euklidisch ist

Question

Aufgabe:

Eine Relation ∼ auf einer Menge M heißt euklidisch, wenn ∀ x,y,z ∈ M gilt: (x ∼ z und y ∼ z) ⇒x∼y.

Man zeige, dass ∼ genau dann eine Äquivalenzrelation auf M ist, wenn ∼ reflexiv und euklidisch ist.

Hallo ihr Lieben,

Ich brauche mal wieder eure Hilfe bei der o.g. Aufgabe. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet

Answer 1

Eine Äquivalenzrelation ist reflexiv und wegen der Symmetrie und
der Transitivität auch euklidisch.

Nun sei \(\sim\) reflexiv und euklidisch.

1 Symmetrie:

Sei \(x\sim y\). Wegen der Reflexivität gilt dann \(y\sim y\),

also \(y\sim y \wedge x \sim y\Rightarrow y \sim x\) wegen euklidisch.

2. Transitivität:

\(x\sim y \wedge y\sim z\) liefert wegen der Symmetrie:

\(x\sim y \wedge z\sim y\). Wegen euklidisch also:

\(x\sim z\).

Comments

Vielen Dank!