Standardskalarprodukt Basis des orthogonalen Komplements

Question

Aufgabe:
Wir betrachten \( \mathbb{R}^{4} \) mit Standardskalarprodukt. Verwenden Sie ohne Beweis, dass die untenstehende Menge \( B \) eine Basis von \( \mathbb{R}^{4} \) ist.

Text erkannt:

\( B:=\left\{b_{1}:=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \quad b_{2}:=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \quad b_{3}:=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \quad b_{4}:=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)\right\} \)

a) Zeigen Sie, dass \( b_{1} \) und \( b_{2} \) orthogonal zueinander sind.
b) Bestimmen Sie eine Basis des orthogonalen Komplements \( \left(b_{3}\right)^{\perp} \) von \( b_{3} \).
c) Verwenden Sie die Gram-Schmidt-Orthonormalisierung, um aus \( B \) eine Orthonormalbasis von \( \mathbb{R}^{4} \) zu konstruieren.

Problem/Ansatz:

Ich habe hier leider keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen muss. Ich wäre über eine Lösung mit Erklärung sehr dankbar

Comments

Weißt Du denn, wie Ihr definiert habt, wann 2 Vektoren orthogonal zueinander sind?

Answer 1

a)  Berechne das Skalarprodukt von b₁ und b₂ und zeige, dass es gleich 0.

b) Suche 3 linear unabhängige Vektoren, die alle mit b₃ das Skalarprodukt 0 haben.

Etwa über den Ansatz

\(  x_2+x_3=0 \). Da kommt man ja leicht auf die Basis

\(C:=\left\{ \left(\begin{array}{l}0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \right\} \)

Für d) kannst du dich an dem Wikipedia-Algorithmus orientieren

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens