Funktion umstellen und ganze Zahlen a, b und c bestimmen

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle f(x)=\frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{x^{3}-x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x+1} \) für alle \( x \in D_{f} \).

Funktion umstellen und ganze Zahlen a, b und c bestimmen. (Für Beta kann eine Zahl zwischen 1 - 9 verwendet werden)

Problem/Ansatz:

Leider habe ich diesbezüglich keinen Ansatz.

Answer 1

\(\frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{x^{3}-x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x+1} \)

\(\frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{x^{3}-x}=\frac{a*(x^2-1)+b*(x^2+x)+c*(x^2-x)}{x^3-x} \)

\(\frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{x^{3}-x}=\frac{a*x^2-a+bx^2+bx+c*x^2-cx}{x^3-x} \)

\(\frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{x^{3}-x}=\frac{x^2*(a+b+c)+x(b-c)-a}{x^3-x}\)

Koeffizientenvergleich:

1.) \(a+b+c=4β-1\)

2.) \(b-c=1\)

3.) \(a=2β\)

Löse nun das Gleichungssystem ( nach Kontrolle meiner Ausführungen)

Comments

Dankeschön :)

Answer 2

x^3-x= x(x^2-1) = x(x+1)(x-1)

Bilde rechts den Hauptnenner, dann Summandenvergleich

Comments

tut mir wirklich leid, aber könnten Sie das einmal schritt für schritt vorrechnen ...?

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Für beta verwende ich z:

(4z-1)*x^2 = a(x^2-1)

x= b*x*(x+1)

2z = c*x*(x-1)

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Wenn ich treffenderweise "Unsinn" schreiben würde, glaubst du wohl wieder, mit einer Beleidigungs-Markierung reagieren zu müssen. Welches andere Wort fällt dir ein ?

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@af 1998:

Beachte den Kommentar von hj2166 nicht.

Er gilt als oft nutzloser Klimavergifter.

Dass der Kommentar dir nicht weiterhilft, siehst du selbst.

Dieser Mensch tickt nicht richtig und motzt meist nur rum.

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@af 1998:

Stelle dem ggT doch mal folgende ganz einfache Frage :

"Für x=1 folgt aus deiner ersten Gleichung 4z=1, aus deiner dritten Gleichung aber z=0 ;  wie erklärst du, dass aus deinen Gleichungen ein solcher Unsinn folgt ?"

Answer 3

((4·β - 1)·x^2 + x - 2·β)/(x^3 - x) = a/x + b/(x - 1) + c/(x + 1)

Mit (x^3 - x) = x·(x + 1)·(x - 1) multiplizieren

(4·β - 1)·x^2 + x - 2·β = a·(x - 1)·(x + 1) + b·x·(x + 1) + c·x·(x - 1)

Wir setzen mal für x = 0 ; x = -1 und x = 1 ein

(4·β - 1)·0^2 + 0 - 2·β = a·(0 - 1)·(0 + 1) + b·0·(0 + 1) + c·0·(0 - 1) --> a = 2·β

(4·β - 1)·(-1)^2 + (-1) - 2·β = a·((-1) - 1)·((-1) + 1) + b·(-1)·((-1) + 1) + c·(-1)·((-1) - 1) --> c = β - 1

(4·β - 1)·1^2 + 1 - 2·β = a·(1 - 1)·(1 + 1) + b·1·(1 + 1) + c·1·(1 - 1) --> b = β

Damit gilt also:

((4·β - 1)·x^2 + x - 2·β)/(x^3 - x) = 2·β/x + β/(x - 1) + (β - 1)/(x + 1)

Answer 4

$$a=\lim_{x\to 0}(xf(x)) = \left. \frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{(x+1)(x-1)}\right|_{x=0} =2\beta $$

$$b=\lim_{x\to 1}((x-1)f(x)) = \left. \frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{x(x+1)}\right|_{x=1} =\beta $$

$$c=\lim_{x\to -1}((x+1)f(x)) = \left. \frac{(4 \cdot \beta-1) \cdot x^{2}+x-2 \cdot \beta}{x(x-1)}\right|_{x=-1} =\beta -1$$

Jetzt kannst du wieder eine deiner Wunschzahlen für \(\beta\) einsetzen.