Differenzierbare Fortsetzung wenn lim x->x0 f´(x) ex.

Question

Problem/Ansatz:

Wenn ich „differenzierbare Fortsetzung“ richtig verstanden habe, dann soll ich beweisen/widerlegen, dass wenn es lim_{x-> x0} f´(x)= a gibt, dann auch f´(x₀)=a gibt. Mir fällt leider kein Gegenbeispiel ein, weswegen ich intuitiv sagen würde dass die Aussage stimmt. Könnte mir jemand weiterhelfen, ob es ein Gegenbeispiel gibt, bzw Ansatz geben, was ich zeigen muss damit die Aussage stimmt. Hätte an Stetigkeit gedacht, aber es gibt ja auch sehr gut stetige Funktionen die nicht durchgehend differenzierbar sind.

Answer 1

Definiere f durch

$$f(x):=0 \text{  für }x<0 \text{  und }f(x):=1 \text{  für } x>0$$

Comments

Entschuldigung bin grad etwas verwirrt, also wäre das jetzt ein Gegenbeispiel?

Da zwar lim_x→0 f´(x) von beiden Seiten existiert mit f`(x)=0 aber f´(0) trotzdem nicht existiert und somit auch keine differenzierbare Fortsetzung von f auf ℝ. Wäre das die Begründung oder steh ich grad komplett aufm Schlauch?