Beweise f′(x0) = lim (f(x0+h)−f(x0−h)/2h). h→0

Question

Abend Leute,

Die Funktion f : R → R sei differenzierbar in x0. Beweisen Sie: f′(x0) = lim (f(x0+h)−f(x0−h)/2h). h→0 .

Ich bin was Stetigkeit angeht ganz raus und brauche Hilfe bei dieser Aufgabe.Kann mir bitte einer helfen ?

!

Comments

Mit Stetigkeit hat das eher wenig zu tun. Du könntest zunächst den Zähler so ergänzen, dass er an die Zustände bei einem gewöhnlichen Differenzenquotienten erinnert.

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Also ich habe mir die Definition aufgeschrieben und versuche es auf die Aufgabe zu übertragen. Genau man muss irgendwie versuchen den Zähle so umzuformen damit ich damit weiterarbeiten kann. Ich weiß aber echt nicht wie :// 

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Na ja, dem ersten Summanden im Zähler fehlt doch offenbar \(-f(x_0)\). Wenn du das zusammen mit \(+f(x_0)\) ergänzt, hast du nichts verändert, aber kommst deiner Definition wesentlich näher.

Answer 1

Hallo,

(f(x0+h)−f(x0−h))/2h

= (f(x0+h) -f(x0)+f(x0)−f(x0−h))/2h

=(f(x0+h) -f(x0))/2h +(f(x0)−f(x0−h))/2h

und für h gegen 0 streben beide Summanden gegen 1/2 f'(x0) .

Comments

also du hast quasi eine Ergänzung gemacht , sodass man mit der Definition zumindest so ungefähr weiterarbeiten kann ?

Answer 2

Eine Skizze verdeutlich

Oberes Steigungsdreieck

[ f ( x0 + h ) - f ( x0 ) ] / ( h)

und beide Dreiecke
[ f ( x0 + h ) - f ( x0 - h) ] / ( 2h)

Die Steigung ist identisch.