Wie viele Zahlen in {n ∈ ℕ | n < 10000} haben eine Dezimaldarstellung, in der keine 0 oder 5 vorkommt?

Question

Aufgabe:

Wie viele Zahlen in {n ∈ ℕ | n < 10000} haben eine Dezimaldarstellung, in der keine 0 oder 5 vorkommt? (Natürliche Zahlen enthalten dabei nicht die 0).

Problem/Ansatz:

Wie rechnet man dies nun, also wie würdet ihr da genau vorgehen? Ich habe es zwar auch berechnet, liege aber glaube ich falsch.

Ich bin so vorgegangen:

1. Spielt die Reihenfolge der Ziffern eine Rolle? Ja, tut sie, da sich die Zahlen so unterscheiden lassen.

2. Gilt hier mit oder ohne Zurücklegen? Mit Zurücklegen, da man ja auch die gleiche Ziffer mehrmals verwenden kann.

Wir haben also nun die Formel n^k und hier habe ich dann auch das Problem, dass ich nicht mehr genau verstehe wie man nun n und k belegt. Ich habe es mit 8⁴ = 4096 belegt, weil man 8 verschiedene Ziffern zur Auswahl hat und man höchstens eine Dezimalzahl mit 4 Ziffern legen kann. Aber ich glaube das ist falsch. Wie muss man vorgehen (denken) um das richtige n und k zu finden?

Comments

Man könnte auch den Computer suchen lassen.

Der Anteil der Zahlen, in denen keine der beiden Ziffern vorkommt, nimmt ab, je höher die Obergrenze.

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Wie viele Zahlen in \(\displaystyle \{n\in\mathbb{N}\mid \space n \lt 10^{k}\}\) haben eine Dezimaldarstellung, in der keine 0 oder 5 vorkommt?

Die Anzahl dieser Zahlen ist \(\displaystyle \frac{8}{7}\left(8^{k-1}-1\right)\). Also bei \(k=5\) sind es 4680.

Answer 1

1. Bei Zahlen kommt es immer auf die Reihenfolge an

2. Die Zahlen dürfen auch mehrfach vorkommen -> mit Zurücklegen

in der keine 0 oder 5 vorkommt?

D.h. keine 0 oder keine 0 oder beides nicht. (inklusives ODER)

keine 0:

einstellige: 9

zweistellige: 9*9

usw.

keine 5:

1-stellig: 9

2-stellig: 8*9 (0 und 5 nicht an 1.Stelle, 0x ist keine Zahl)

Das sollte weiterhelfen.

Answer 2

Hallo,

ich würde erst von 1 bis 10 gehen, dann bis 100 usw. und gucken, ob es eine Formel gibt.

1 bis 10:

--> 8 Zahlen ohne 0 und 5

1 bis 100:

20 Vielfache von 5

8 Zahlen von 51 bis 59

 → 100-28= 72

Oder 9•8=72

1 bis 1000:

200 Vielfache von 5

8•9=72 mit 0 als Zehnerziffer

8•10=80 mit 5 als Zehnerziffer

8•8=64 mit 5 als Hunderterziffer

--> 1000-416= 584

Oder 9•72-8•8=648-64=584

Oder

8 Möglichkeiten für jede Ziffer → 8³=512

Dann sind aber die 72 Zahlen bis 100 noch nicht gezählt.

512+72=584

Nun fällt mir auf:

584=8³+8²+8

1 bis 10000:

8^4+8³+8²+8=4096+584=4680

Also

4096 von 1000 bis 10000,

512 von 100 bis 1000,

64 von 10 bis 100 und

8 von 1 bis 10.

:-)

Comments

Man kann 5 auch durch 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 oder 9 ersetzen.

So weit, so gut.

Das Beste dabei: Es ändert nichts an der Zahl 4680.

Das Ersetzen ändert auch nichts am Ergebnis, wenn man 1 000 000 oder 100 000 000 verwendet anstatt 10 000

Answer 3

Du findest die Antwort auch unter https://oeis.org/A052379

Anders als dort geschrieben, gilt die Folge nicht nur Zahlen "that lack 0 and 1 as a digit" sondern auch für solche, in denen die beiden Ziffern Null und irgendeine andere Ziffer nicht vorkommen, bei Deiner Aufgabe 0 und 5.