duale Basis, Identität, beweisen

Question

Sei $V$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum mit einer geordneten Basis $\mathcal{B}=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right)$ mit dualer Basis $\left(b_{1}^{*}, \ldots, b_{n}^{*}\right) \subset V^{*}$ und $\psi \in \operatorname{End}(V)$.

(a) Beweisen Sie, dass die Abbildung
$\varphi: V \rightarrow V, \quad \varphi(v)=\sum \limits_{k=1}^{n} b_{k}^{*}(v) b_{k}$
gerade der Identität auf $V$ entspricht.

(b) Beweisen Sie: Es gibt $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \in V^{*}$ mit
$\forall v \in V: \quad \psi(v)=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}(v) b_{i} .$

Answer 1

Sei v∈V. Dann gibt es eine eindeutige Darstellung mit der Basis

also genau ein $(a_1,\dots,a_n ) \in R^n$ mit  $v=\sum \limits_{i=1}^{n} a_ib_{i}$

$\varphi(v)=\sum \limits_{k=1}^{n} b_{k}^{*}(v) b_{k} =\sum \limits_{k=1}^{n} b_{k}^{*}(\sum \limits_{i=1}^{n} a_ib_{i}) b_{k}$

Wegen der Linearität der b_k^* also

$=\sum \limits_{k=1}^{n} (\sum \limits_{i=1}^{n} a_ib_{k}^{*}(b_{i}) b_{k}$ Und wegen $b_{k}^{*}(b_{i})= \delta_{k,i}$ bleibt

$= \sum \limits_{i=1}^{n} a_ib_{i} = v$ .

Also für alle $v \in V \text{ gilt } \varphi(v)= v$.  Damit gilt $\varphi(v)= id_V$.

Comments

vielen Dank. Hast du auch eine Idee zu b)?

Answer 2

Zu a)

Da die $b_i$ eine Basis bilden, reicht es,

$\varphi(b_i)=b_i$ für $i=1,\cdots,n$ zu zeigen:

$\varphi(b_i)=\sum_{k=1}^n b_k^*(b_i)b_k=\sum \delta_{ki}b_k=b_i$,

wobei $\delta_{ki}$ das Kronecker-Delta ist.

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vielen Dank für die Hilfe