Welcher Exponent ist x?

Question

q(a) sei die einstellige Quersumme einer Zahl a. Sie wird errechnet, indem von nicht einstelligen Quersummen wiederum die Quersumme bestimmt wird. Die Folge (q(n^x)_n∈ℕ lautet 1, 1, 9, 1, 1, 9, und so weiter. Welcher Exponent ist x?

Answer 1

n ist 6.

Es gilt z≡QS(z) mod 9 und damit auch z≡QS(z) ≡QS(QS(z))...mod 9.

Die erste Zweierpotenz, die bei Teilung durch 9 den Rest 1 lässt ist 2^6=64.

Somit muss n ein Vielfaches von 6 sein.

Die erste Fünferpotenz, die bei Teilung durch 9 den Rest 1 lässt ist ebenfalls  5^6.

Die genannten Quersummen für die Basen 1 und 3 sind sellbstverständlich so und gelten bei der Basis 4 auch schon für n=3 und damit auch bei n=6.