Question

Gibt es hier einen kritischen Punkt?

\(\displaystyle f(x, y)=x y+e^{-x y} \)

Answer 1

Ja, die Funktion \(f(x, y)=x y+e^{-x y} \) hat einen kritischen Punkt.

Comments

Wie bestimme ich den? Mit den Ableitungen bekomme ich x*y = 0

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Partielle Ableitungen bilden.

        \(\begin{aligned} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} &= y\left(1 - \mathrm{e}^{-xy}\right)\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} &= x\left(1 - \mathrm{e}^{-xy}\right)\\ \end{aligned}\)

Gleich Null setzen.

        \(\begin{aligned} 0 &= y\left(1 - \mathrm{e}^{-xy}\right)\\ 0 &= x\left(1 - \mathrm{e}^{-xy}\right)\\ \end{aligned}\)

Gleichungssystem lösen.

Answer 2

Der Gradient ist \(\operatorname{grad}(f)=(1-e^{-xy})\cdot(y,x)\)

Dieser verschwindet auf den Koordinatenachsen

\(x=0\vee y=0\), weil der exp-Ausdruck dort = 1 ist.

Answer 3

Aloha :)

Wieder muss der Gradient bei kritischen Punkten verschwinden:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}\left(xy+e^{-xy}\right)=\binom{y-ye^{-xy}}{x-xe^{-xy}}=\binom{y(1-e^{-xy})}{x(1-e^{-xy})}$$

Die erste Koordinate wird Null, falls \(y=0\) oder \(x\cdot y=0\).

Die zweite Koordinate wird Null, falls \(x=0\) oder \(x\cdot y=0\).

Das bedeutet, wir haben unendlich viele kritische Punkte:\(\quad(0|\mathbb R)\;;\;(\mathbb R|0)\)

Alle Punkte, die auf einer Koordinatenachse liegen, sind kritisch.