Konvergiert die Winkelsumme in der Wurzelspirale?

Question

Ihr kennt doch sicher die Wurzelspirale.

Von Dreieck zu Dreieck nimmt die Größe der in der Abbildung markierten Winkel ab.

(45°; ca.35° ,26°, 30°, ...).

Wenn man die Winkelspirale ins Unendliche fortsetzt: Konvergiert die Summe dieser Winkel?

Mir fehlt eine geeignete Abschätzung.

Answer 1

Wir haben

\(\phi_n = \arctan \frac 1{\sqrt n}\) für \(n\in \mathbb N\)

Nun gilt

$$\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}x = 1$$

Daher verhält sich

$$\sum_{n=1}^{\infty}\arctan \frac 1{\sqrt n} \sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{\sqrt n} = \infty$$