Definitionsbereich bei einer gebrochen rationalen Fkt. bestimmen

Question

Aufgabe:

Die reelle Funktion f mit f(x) = x+2/ (x^2-4) (x-1) und Df = R\ {-2;1;2} hat:

-eine Nullstelle und zwei Polstellen
-zwei Nullstellen und zwei Lücken
-eine Nullstelle und zwei Polstellen
-eine Nullstelle, eine Polstelle und eine Lücke
-keine Nullstelle, zwei Polstellen und eine Lücke

Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte jemand, diese Aufgabe Schritt für Schritt erklären, wieso das letzte richtig ist? Ich habe die Lösung, doch ich weiß nicht, wie man darauf kommt.

Comments

Ich habe die Lösung, doch ich weiß nicht, wie man darauf kommt.

Dann solltst Du die hier auch einstellen. Es gibt auch Musterlösungen, die falsch sind.

Answer 1

Hallo,

wenn du (x^2-4) als (x-2)•(x+2) schreibst, siehst du, dass du (x+2) kürzen kannst.

--> f(x)=1/((x-2)(x-1)) fur x≠-2

Damit hat f keine Nullstelle, eine Lücke und zwei Polstellen.

Comments

Und wann gibt es z.B. eine Nullstelle?

Keine Nullstellen, weil ich dachte, dass der Nenner einer Bruchfunktion nie 0 werden darf ?

Hebbare Lücke, weil man ja zwei Dinge wegkürzen kann.

Polstellen, weil ? Was sind die Polstellen in dem Fall, 2 und -2 ?

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Hallo,

der Zähler sei Z, der Nenner N.

Nullstelle: Z=0; N≠0

Nach dem Kürzen ist der Zähler 1, also ungleich Null.

Lücke: Z=0; N=0

(x+2) kann man kürzen. Lücke bei x=-2

Polstelle: Z≠0; N=0

Im Nenner steht (x-2)(x-1) → Polstellen bei x=2 und x=1.

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Dankeschön :)

Answer 2

Wenn man eine Nullstelle wegkürzen kann, liegt eine hebbare Definitionslücke vor.