Aloha :)
Bei allen 4 Aufgaben wurde der Zähler so umgeformt, dass man den Bruch in zwei Teilbrüche aufteilen kann. Der erste Teilbruch ist dann kürzbar, der zweite Teilbruch nicht.
Nach dem Kürzen hat man dann Brüche der folgenden Form, die man leicht integrieren kann$$\int\frac{a}{(x+b)}\,dx=a\cdot\ln|x+b|$$$$\int\frac{a}{(x+b)^n}\,dx=a\int(x+b)^{-n}\,dx=a\cdot\frac{(x+b)^{-n+1}}{-n+1}=\frac{-a}{(n-1)(x+b)^{n-1}}\quad\text{für }n>1$$Die Integrationskonstante habe ich weggelassen.
Damit sehen die Rechnungen dann so aus:
$$\text{(k)}\quad\frac{x\pink{+3}}{(x+1)^3}=\frac{(x\pink{+1})\pink{+2}}{(x+1)^3}=\frac{x\pink{+1}}{(x+1)^3}+\frac{\pink2}{(x+1)^3}=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{2}{(x+1)^3}$$$$\phantom{\text{(k)}}\stackrel{\text{integrieren}}{\implies}\frac{-1}{1\cdot(x+1)^1}+\frac{-2}{2(x+1)^2}=-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}$$
$$\text{(\(\ell\))}\quad\frac{x}{(x+1)^3}=\frac{(x\pink{+1})\pink{-1}}{(x+1)^3}=\frac{x\pink{+1}}{(x+1)^3}-\frac{\pink1}{(x+1)^3}=\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x+1)^3}$$$$\phantom{\text{(\(\ell\))}}\stackrel{\text{integrieren}}{\implies}\frac{-1}{1\cdot(x+1)^1}-\frac{-1}{2(x+1)^2}=-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+1)^2}$$
$$\text{(m)}\quad\frac{x\pink{-1}}{(x+1)^3}=\frac{(x\pink{+1})\pink{-2}}{(x+1)^3}=\frac{x\pink{+1}}{(x+1)^3}-\frac{\pink2}{(x+1)^3}=\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{2}{(x+1)^3}$$$$\phantom{\text{(k)}}\stackrel{\text{integrieren}}{\implies}\frac{-1}{1\cdot(x+1)^1}-\frac{-2}{2(x+1)^2}=-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}$$
$$\text{(n)}\quad\frac{x\pink{+1}}{(x-1)^2}=\frac{(x\pink{-1})\pink{+2}}{(x-1)^2}=\frac{x\pink{-1}}{(x-1)^2}+\frac{\pink2}{(x-1)^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^2}$$$$\phantom{\text{(k)}}\stackrel{\text{integrieren}}{\implies}\ln\left|x-1\right|+\frac{-2}{1\cdot(x-1)^1}=\ln\left|x-1\right|-\frac{2}{x-1}$$
