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Aufgabe:

lim x-> 0 von \( \frac{ln(cosx)}{x^2} \)


es wäre ja die Situation 0/0 und das erlaubt die Verwendung von L'Hospital

Nur die Frage: wie leite sich das ab?

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[LN(COS(x))]' = 1/COS(x) * (- SIN(x)) = - TAN(x)

[x^2]' = 2x

Ist das so klar? Ansonsten empfehle ich ein Rechentool wie z.B. https://www.ableitungsrechner.net

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wo genau füge ich dann das 2x ein?

Im Nenner. L'Hospital bedeutet doch man darf Zähler und Nenner getrennt ableiten. Allerdings musst du das nochmals machen weil du wieder ein Grenzwert von 0 hast.

- TAN(x) / (2x) = - SIN(x) / (2x·COS(x))

wenn ich nun aber versuche den Grenzwert zu berechnen, habe ich ja wieder etwas geteilt durch null, wegen dem 2*0

Genau. Daher darfst du dann auch nochmals L'Hospital anwenden.

LIM (x → 0) -COS(x) / (2·COS(x) - 2·x·SIN(x)) = -1/2

Skizze

~plot~ ln(cos(x))/x^2 ~plot~

Top, ich habe es verstanden! vielen Dank :)

hoffentlich kommt das aber nicht in der Klausur vor - wäre etwas viel verlangt darauf zu kommen

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Kennst du die Quotientenregel?

Es geht auch mit der Produktregel:

f(x) = ln(cos x)*x^(-2)

u= ln (cosx) -> u' = -sinx/cosx = -tanx

v= x^-2 -> v' = -2*x^-3 =-2/x^3

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