wie leite ich eine Funktion mit ln und cos ab?

Question

Aufgabe:

lim x-> 0 von \( \frac{ln(cosx)}{x^2} \)

es wäre ja die Situation 0/0 und das erlaubt die Verwendung von L'Hospital

Nur die Frage: wie leite sich das ab?

Answer 1

[LN(COS(x))]' = 1/COS(x) * (- SIN(x)) = - TAN(x)

[x^2]' = 2x

Ist das so klar? Ansonsten empfehle ich ein Rechentool wie z.B. https://www.ableitungsrechner.net

Comments

wo genau füge ich dann das 2x ein?

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Im Nenner. L'Hospital bedeutet doch man darf Zähler und Nenner getrennt ableiten. Allerdings musst du das nochmals machen weil du wieder ein Grenzwert von 0 hast.

- TAN(x) / (2x) = - SIN(x) / (2x·COS(x))

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wenn ich nun aber versuche den Grenzwert zu berechnen, habe ich ja wieder etwas geteilt durch null, wegen dem 2*0

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Genau. Daher darfst du dann auch nochmals L'Hospital anwenden.

LIM (x → 0) -COS(x) / (2·COS(x) - 2·x·SIN(x)) = -1/2

Skizze

~plot~ ln(cos(x))/x^2 ~plot~

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Top, ich habe es verstanden! vielen Dank :)

hoffentlich kommt das aber nicht in der Klausur vor - wäre etwas viel verlangt darauf zu kommen

Answer 2

Kennst du die Quotientenregel?

Es geht auch mit der Produktregel:

f(x) = ln(cos x)*x^(-2)

u= ln (cosx) -> u' = -sinx/cosx = -tanx

v= x^-2 -> v' = -2*x^-3 =-2/x^3