Folgenstetigkeit- Nullfolge für Unstetigkeit gesucht

Question

Hallo zusammen,

ich habe folgende Funktion und möchte mithilfe der Folgenstetigkeit zeigen, dass f in t=0 unstetig ist.

Ich finde nur leider keine Nullfolge, die in f eingesetzt nicht gegen f(0)=0 konvergiert.

Oder muss man dies hier anders zeigen? In der selben Aufgabe habe ich gezeigt, dass f differenzierbar ist und beschränkt - hilft das etwas?

Oder ist der Trick dahinter, dass ich l´Hospital anwende beim Einsetzen einer Nullfolge? Das habe ich versucht aber komme auf keinen grünen Zweig…

Ich freue mich auf eine Antwort!

Comments

In der selben Aufgabe habe ich gezeigt, dass f differenzierbar ist und beschränkt - hilft das etwas?

Differenzierbare Funktionen sind stetig.

Answer 1

f ist stetig in t=0, denn

$$|t+2t^2\sin \frac 1t| \stackrel{|t|< 1}{\leq} |t|(1+2)\stackrel{t\to 0}{\longrightarrow}0$$

Comments

Wie kommt man auf diesen Ansatz?

---

@ggT22

Bei der Untersuchung auf Konvergenz gegen 0 ist es oft hilfreich, kompliziert aussehende Ausdrücke auf Beschränktheit zu untersuchen.

Außerdem versucht man eine Potenz mit positivem Exponenten der gegen Null gehenden Variablen als Faktor zu isolieren.

Denn wir wissen: \(C\cdot |t|^{\alpha}\stackrel{t \to 0}{\longrightarrow} 0\) für \(\alpha > 0\).

---

Dankeschön! Daher habe ich keine Folge gefunden :D

Soeben wurde auch der Fehler im Aufgabenblatt korrigiert… wir müssen zeigen, dass die Ableitung unstetig ist:)

---

@Mathestudent100
Jenau. Aber aus genau sowas lernt man am besten :-D.
Also weitermachen und weiterfragen!

---

Ich habe nun die Ableitung berechnet. Diese müsste doch dann in x=0 unstetig sein. Ich habe die triviale Nullfolge, diese eingesetzt in f´ ist der Grenzwert nicht null.

---

Es ist günstiger zu zeigen, dass der Grenzwert von f' für \(t\to 0\) nicht existiert. Damit wird auch das willkürliche Setzen von \(f'(0)=0\) hinfällig.

Dazu genügt es, wenn du zwei Nullfolgen \(t_n\) findest, für die \(f'(t_n) \) gegen zwei verschiedene Werte konvergiert.

Probier mal zum Beispiel:
\(t_n = \frac 1{2n\pi}\) und \(t_n = \frac 1{(2n+1)\pi}\).

---

Das ist ja noch besser! Ich danke dir für deine Hilfe:)