Ist es möglich zu beweisen, dass eine Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist wenn man lediglich die Abbildung und ihre Funktionsvorschrift kennt? Ich habe aktuell keine Idee wie ein Beweis für einen Gruppenhomomorphismus aussehen könnte ohne genaueres über die Gruppen selbst und ihre inneren zweistelligen Verknüpfungen zu wissen (vielleicht geht es doch und ich habe die Thematik einfach zu wenig verstanden).
Die Frage stellt sich mir aufgrund folgender Aufgabe:
Beweise folgende Aussagen:
(ii) Es seien n∈ℕ und l∈ℤ. Dann ist die folgende Abbildung ein Gruppenhomomorphismus:
ℤ → Cn , a ↦ r(la; n)
Das r(la; n) besitzt noch einen horizontalen Strich über sich selbst, da alle Elemente der Fantasie-Menge Cn einen Strich über sich selbst haben, es gilt Cn = {1, 2, 3, ..., n-2, n-1}. Ich denke der Ausdruck r(la; n) selbst steht für den Rest r von la modulu n.
Mein bisheriger Ansatz:
Ich gebe der Abbildung den Namen Φ. Die Paare (ℤ, *) und (Cn, ◊) sind beide Gruppen. Zu zeigen ist:
∀z1,z2∈ℤ: Φ(z1*z2) = Φ(z1) ◊ Φ(z2)
r(l·(z1*z2); n) = r(lz1; n) ◊ r(lz2; n)
Mir reicht es zu erfahren, ob man die gegebene Behauptung ohne weiteres beweisen kann. Falls das geht werde ich so lange überlegen bis ich die Behauptung bewiesen habe.
