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Ist es möglich zu beweisen, dass eine Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist wenn man lediglich die Abbildung und ihre Funktionsvorschrift kennt? Ich habe aktuell keine Idee wie ein Beweis für einen Gruppenhomomorphismus aussehen könnte ohne genaueres über die Gruppen selbst und ihre inneren zweistelligen Verknüpfungen zu wissen (vielleicht geht es doch und ich habe die Thematik einfach zu wenig verstanden).


Die Frage stellt sich mir aufgrund folgender Aufgabe:

Beweise folgende Aussagen:

(ii) Es seien n∈ℕ und l∈ℤ. Dann ist die folgende Abbildung ein Gruppenhomomorphismus:

ℤ → Cn , a ↦ r(la; n)


Das r(la; n) besitzt noch einen horizontalen Strich über sich selbst, da alle Elemente der Fantasie-Menge Cn einen Strich über sich selbst haben, es gilt Cn = {1, 2, 3, ..., n-2, n-1}. Ich denke der Ausdruck r(la; n) selbst steht für den Rest r von la modulu n.


Mein bisheriger Ansatz:

Ich gebe der Abbildung den Namen Φ. Die Paare (ℤ, *) und (Cn, ◊) sind beide Gruppen. Zu zeigen ist:

∀z1,z2∈ℤ: Φ(z1*z2) = Φ(z1) ◊ Φ(z2)

                r(l·(z1*z2); n) = r(lz1; n) ◊ r(lz2; n)



Mir reicht es zu erfahren, ob man die gegebene Behauptung ohne weiteres beweisen kann. Falls das geht werde ich so lange überlegen bis ich die Behauptung bewiesen habe.

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Ich denke, dass es geht. Die Verknüpfung bei Cn ist doch wohl die Multiplikation der Restklassen. Und dann ist doch nur zu zeigen, dass dies das gleiche ergibt wie die Restklasse, die zu z1*z2 gehört.

Avatar von 289 k 🚀

Also folgt aus der gegeben Aussage logisch, dass die innere zweistellige Verknüpfung der Gruppe (Cn, ◊) die Multiplikation der Restklassen ist?

Heißt das, dass ich jetzt herausfinden muss, wie die Multiplikation in Cn sinnvoll zu definieren ist?

Folgt dann auch in Bezug auf die Verknüpfung * der Gruppe (ℤ, *) wie genau die eindeutige Zuordnungsvorschrift der Abbildung * : ℤ×ℤ → ℤ aussieht?

Es ist ja nicht genau angegeben, aber ich würde das so

aus dem Zusammenhang interpretieren.

* : ℤ×ℤ → ℤ  mit (a,b) → a*b wobei * die Multiplikation in ℤ bezeichnet.

Und dass die innere zweistellige Verknüpfung der Gruppe (Cn, ◊) die Multiplikation der Restklassen ist.

Dann würde das auch mit den Überstrichen Sinn machen, das ist ja oft die Bezeichnung für die Klassen.

Ok, danke für die Hilfe

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