Wie beweist man, dass die Gleichung cos(x)=x^2 2 Lösungen hat?

Question

Aufgabe:

Wie beweist man, dass die Gleichung cos(x)=x^2 2 Lösungen hat?

Comments

Verwende an Näherungsverfahren.

Die Gleichung ist algebraisch nicht lösbar.

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Verwende an Näherungsverfahren

Warum willst du die Zahl n = 2  annähern ?

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Man kann sicherlich Sätze verwenden? Nullstellensatz von Bolzano oder ähnliches aber ich bin mir nicht sicher.

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Für x ∈ ℝ definiere ƒ(x) = x² - cos(x). Die Funktion ist beliebig oft differenzierbar.
Die zweite Ableitung ƒ'' hat keine Nullstellen, d.h. ƒ hat deren höchstens zwei.
Andererseits gilt ƒ(0) < 0 und ƒ(1) > 0, sowie ƒ(x) = ƒ(-x). Die Funktion ƒ hat demnach mindestens zwei Nullstellen.
Es müssen also genau zwei sein.

Answer 1

Du kannst doch auch so argumentieren:

Es geht um die Nullstellen der stetigen Funktion mit f(x)=  x^2 - cos(x)

Offenbar ist f(-pi/2) positiv und f(0) negativ,

also ist dazwischen eine Nullstelle.

Und f(pi/2) ist wieder positiv, also dazwischen

wieder eine Nullstelle.

Answer 2

Sei \(f(x)=x^2-\cos(x)\). Wegen \(f(0)=-1< 0\) und \(f(\pi/2)=\pi^2/4>0\)

liefert der Zwischwertsatz ein \(x_0\in (0,\pi/2)\) mit \(f(x_0)=0\).

Da \(f\) gerade ist, gilt auch \(f(-x_0)=0\).

Ist hingegen \(|x|>\pi /2\), dann ist \(x^2-\cos(x)\geq \pi^2/4-1>0\).