Menge offen und abgeschlossen - kleine Verständnisfrage

Question

Aufgabe:

Sei (X,d) ein metrischer Raum und M Teilmenge von X.

Es ist A abgeschlossen und das Komplement von A folglich offen.

Kann das Komplement von A dann abgeschlossen sein?

Ich behaupte nein. Aber es gibt doch auch Mengen die offen UND abgeschlossen sind, weshalb kann das hier nicht der Fall sein?

Answer 1

Kann das Komplement von A dann abgeschlossen sein?

Warum nicht?

\(A=X\) ist abgeschlossen und \(X\backslash A=X\backslash X=\emptyset\) ist ebenfalls

abgeschlossen.

In nichtzusammenhängenden Räumen mit endlich vielen

Zusammenhangskomponente sind die

Zusammenhangskomponenten sowohl offen

als auch abgeschlossen, was dann auch für ihre

Komplemente gilt. Betrachte den Raum \([1,2]\cup [3,4]\)

mit der Teilraumtopologie.

Comments

Ich danke dir:)

In dem Fall ist immer die Menge selbst (hier X) und ∅ offen und gleichzeitig abgeschlossen. Gibt es noch andere Fälle in metrischen Räumen?

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Habe meine Antwort ergänzt.