Dimension des Kernes bestimmen?

Question

Aufgabe: Sei f:C^5 → C^3 eine lineare Abbildung.

Ist die Dimension des Kernes von f 2?

Ich glaube, dass es stimmt, da wir von C^5 nach C^3 einen Dimensionsverlust von 2 haben und die nicht abgebildet werden, also dem Kern entsprechen. Daher wäre der Kern (f) = 2 und der Rang (f) =3 (auch wenn das nicht gefragt ist).

Aber sicher bin ich mir nicht, da auch nicht gegeben ist, ob die Abbildung linear ist oder nicht und ich nicht weiß, ob das wichtig ist. Könntet ihr mir helfen und meine Hypothese bestätigen oder eben widerlegen?

Ich bin jedem für seine Antwort dankbar

Answer 1

Hallo da man ohne weitere Vors. ja gan C^5 auf einen Vektor des C^3 abbilden kann, musst da schon noch eine andere Vors stehen .sonst kann man über den Kern nichts sagen.

lul

Comments

Es stand noch dran, dass es doch eine C- (Körper der komplexen Zahlen) lineare Abbildung ist, sonst aber nichts

Answer 2

Der Begriff "Kern" ist nur bei Homomorphismen sinnvoll.
In der Kategorie der Vektorräume sind die Homomorphismen
die linearen Abbildungen.

Sei also \(f:\;V\rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Nach dem Dimensionssatz
für solche Abbildungen gilt (bei endliche-dimensionalen Räumen):
\(\dim(V)=\dim(\ker(f))+\dim(img(f))\). In unserem Falle
folgt daraus:

\(\dim(\ker(f))\geq 2\), da \(\dim(img(f))\leq 3\) ist.

Comments

1.Danke für die Aufklärung, wann der Kern sinnvoll definiert ist.

2. Können wir nur Kern(f) >=2 sagen, da wir nicht wissen ob die Abbildung noch eine linear abhängige Linearkombination von Vektoren hat und dadurch eben der Kern eben auch wachsen kann? In einer Matrix eben die Nullzeilen

---

Ja. Das ist genau das Problem. Die Nullabbildung z.B. ist
ja auch eine lineare Abbildung und die hat ja ganz V
als Kern.

Dim(Kern))=2 ist der Fall, wenn f surjektiv ist.

---

Perfekt, ich danke dir, ermanus