Berechne das zweite Moment (Erwartungswert) von der Zufallsvariablen X aus.

Question

Aufgabe:

Berechne das zweite Moment (Erwartungswert) von der Zufallsvariablen X aus.

Die Gammafunktion ist wie folgt definiert:  \( \Gamma:(0, \infty) \longrightarrow \mathbb{R} \) ist definiert durch \( \Gamma(x):=\int \limits_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm{~d} t \).

Hier der wichtigste Teil der Rechnung:

\( \begin{array}{l}=\frac{1}{\beta^{2} \Gamma(\alpha)} \int \limits_{0}^{\infty} t^{\alpha+1} e^{-t} \mathrm{~d} t \\ =\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\beta^{2} \Gamma(\alpha)} \\ =\frac{(\alpha+1) \Gamma(\alpha+1)}{\beta^{2} \Gamma(\alpha)}\end{array} \)

Problem/Ansatz:

Ich kann den Rechenweg nicht nachvollziehen, warum

\( \Gamma(\alpha+2) \) = \( (\alpha+1) \Gamma(\alpha+1) \)

Answer 1

warum \( \Gamma(\alpha+2) \) = \( (\alpha+1) \Gamma(\alpha+1) \)

Partielle Integration

        \(\int_a^b u'(t)v(t)\mathrm{d}t = \left[u(t)v(t)\right]_a^b - \int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t\)

mit \(v(t) = t^{x-1}\) und \(u'(t) = \mathrm{e}^{-t}\).

Dann \(a = 0\) einsetzen und Grenzwert für \(b\to\infty\) bestimmen.

Nebenbei, zusammen mit \(\Gamma(1) = 1\) ergibt das die wohlbekannte Tatsache, dass \(\Gamma(n+1) = n!\) für alle \(n\in \mathbb{N}\) ist.

Comments

Ich habe das auch so gemacht, aber mir ist noch nicht klar, warum ich a = 0 und b gegen unendlich laufen lassen soll. Könntest du mir das bitte nochmal erklären?

Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, wie sich die Äquivalenz hier bildet:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}=\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\beta^{2} \Gamma(\alpha)} \\ =\frac{(\alpha+1) \Gamma(\alpha+1)}{\beta^{2} \Gamma(\alpha)}\end{array} \)

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warum ich a = 0 und b gegen unendlich laufen lassen soll.

Weil in der Definition der Gammafunktion die untere Integrationsgrenze \(0\) und die obere \(\infty\) ist.

wie sich die Äquivalenz hier bildet

Indem du das Integral, das die Gammafunktion definiert, so wie von mir beschrieben in die Formel zur partiellen Integration steckst.