Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen: x^2 - 9 = 0 …

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen:

a) \( x^{2}-9=0 \)

b) \( x^{2}+3 x=0 \)

c) \( x^{2}-5 x+6=0 \)

d) \( 3 x^{2}+x-\frac{1}{4}=0 \)

Answer 1

Hi johana.

a)

x^2-9 = 0

Hier brauchst Du keine pq-Formel. Du hast kein lineares Glied. Bringe also die Zahl nach rechts und ziehe die Wurzel -> fertig.

x^2 = 9    |Wurzel

x = ±3

(Beachte beim Wurzel ziehen, dass zwei Lösungen entstehen. Denn auch (-3)^2 = 9 ;) )

 

b)

x^2+3x = 0

Hier beachte, dass Du kein konstantes Glied hast "also nur eine Zahl". Du kannst x ausklammern.

x(x+3) = 0

Nun beachte, dass Du ein Produkt hast. Da reicht es, wenn ein Faktor 0 ist. Denn 0*iwas = 0.

Das ist der Fall für

x₁ = 0 oder x₂ = -3

 

c)

x^2-5x+6 = 0

Hier lohnt sich nun in der Tat die pq-Formel, wenn man nicht faktorisieren kann.

Das bekommst Du alleine hin? Als Kontrolllösung:

x₁ = 2 und x₂ = 3

 

d)

3x^2+x-1/4 = 0

Auch hier lohnt sich die pq-Formel. Achte darauf, dass nur der Vorfakor 1 dasteht (vor x^2).

3x^2+x-1/4 = 0  |:3

x^2 + 1/3*x - 1/12 = 0

Nun ist wieder pq-Formel gefragt. Kein Problem oder?

Die Kontrolllösung:

x₁ = -1/2 und x₂ = 1/6

 

Grüße

Answer 2

a)

x²-9=0 |+9

x²=9 |√

±x= 3

b)

x²+3x=0

x_1/2=-3/2±√(3)/2)²

x₁=0

x₂=-3

 

c)

x²-5x+6=0

x_1/2=-(-5)/2±√((-5)/2)²-6

x₁=3

x₂=2

 

d)

3x²+x-1/4=0 |:3

x²+1/3-1/12=0

x_1/2=-1/3/2±√(1/3)/2)²-(-1/12)

x₁=1/6

x₂=-1/2

 

Grüße:)

Answer 3

x ² - 9 = 0

Auf beiden Seiten 9 addieren:

<=> x ² = 9

Wurzel ziehen:

<=> x = - 3 oder x = 3

oder auch mit Hilfe der dritten binomischen Formel:

x ² - 9 = 0

<=> ( x + 3 ) ( x - 3 ) = 0

<=> x + 3 = 0 oder x - 3 = 0

<=> x = - 3 oder x = 3

 

x ² + 3 x = 0

x ausklammern:

<=> x ( x + 3 ) = 0

<=> x = 0 oder x + 3 = 0

<=> x = 0 oder x = - 3

 

x ² - 5 x + 6 = 0

Auf beiden Seiten 6 subtrahieren:

<=> x ² - 5 x = - 6

Quadratische Ergänzung bestimmen, hier: ( 5 / 2 ) ² = 2,5 ²  und auf beiden Seiten addieren:

<=> x ² - 5 x + 2,5 ² = - 6 + 2,5 ² = 0,25

Zweite binomische Formel:

<=> ( x - 2,5 ) ² = 0,25

Wurzel ziehen:

<=> ( x - 2,5 ) = ± 0,5

<=> x = - 0,5 + 2,5 = 2 oder x = 0,5 + 2,5 = 3

 

3 x ² + x - ( 1 / 4 ) = 0

Gleichung durch 3 dividieren:

<=> x ² + ( 1 / 3 ) x - ( 1 / 12 ) = 0

Auf beiden Seiten ( 1 / 12 addieren:

<=> x ² + ( 1 / 3 ) x = ( 1 / 12 )

Quadratische Ergänzung bestimmen, hier: ( (1/3) / 2 ) ² = ( 1 / 6 ) ²  und auf beiden Seiten addieren:

<=> x ² + ( 1 / 3 ) x + ( 1 / 6 ) ²  = ( 1 / 12 ) + ( 1 / 6 ) ² = ( 3 / 36 ) + ( 1 / 36 ) = 4 / 36

Erste binomische Formel:

<=> ( x + ( 1 / 6 ) ) ² = 4 / 36

Wurzel ziehen:

<=>  x + ( 1 / 6 ) = ± 2 / 6

<=> x = - ( 2 / 6 ) - ( 1 / 6 ) = - 3 / 6 = - 1 / 2 oder x = ( 2 / 6 ) - ( 1 / 6 ) = 1 / 6