Fragen zu Exponentialfkt

Question

Aufgabe: Exponentialfunktion gegeben und Fragen dazu

Problem/Ansatz:

gegeben:

\( f(x)=3 \cdot 0,94^{x} \)

Frage 1: Geben sie an, um welches Vielfache der Funktionswert abnimmt, wenn x um 2 erhöht wird!

Frage 2: Geben sie an, um wieviel % der Funktionswert abnimmt, wenn x um 3 erhöht wird!

Frage 3: Erkläre, warum eine Exponentialfunktion der Form f(x) = c* a^x keine Nullstellen haben kann.

Answer 1

Erkläre, warum eine Exponentialfunktion der Form f(x) = c* a^x keine Nullstellen haben kann.

a^x kann nicht 0 werden.

a^x= 0

x*lna= ln0

ln0 ist nicht definiert.

Das Argument des ln muss aus R+ kommen.

Comments

ln0 ist nicht definiert

und warum gibt es keine Definition ?

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und warum gibt es keine Definition ?

Das können Sie mir sicher sagen.

Es passiert Ähnliches wie bei der Division durch Null.

Bei Annäherung an die 0 landet man hier im nicht-definierten, negativen Unendlichen.

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Bei Annäherung an die 0 landet man hier im nicht-definierten, negativen Unendlichen.

Das ist ja zunächst kein Grund, denn es wird ja nicht verlangt, dass eine Definition von ln 0 die Logarithmus-Funktion rechtsseitig stetig fortsetzt.

Das können Sie mir sicher sagen.

Wie wäre es damit : " Aus einer Definition   ln 0 = c ∈ ℝ  würde folgen, dass e^{ln 0} = e^c , also 0 = e^c sein müsste, die Exponentialfunktion hat aber keine Nullstelle. " ?

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Ja, das ist OK und überzeugend, wenn auch m.E. im Nachhinein trivial.

Man musst eben die Idee haben, was Ihnen sicher leicht fällt,

weil Sie im Gegensatz zu mir diese Dinge lieben und damit

umzugehen wissen. Mich lassen sie kalt, weil Definitionen trockene,

wenn auch notwendige Sachverhalte, sind.

Auf ihnen baut auch das System Mathematik auf wie Sprachen auf der Grammatik.

Dennoch halte ich meine Aussage für sehr anschaulich und in diesem Kontext sinnvoll.

Hier sollte es genügen, so zu argumentieren.

Man liest oft, dass ln von 0 nicht definiert ist, ohne weitere Begründung, genauso wenig wie die Division durch 0.

Der Schüler muss das sicher hier nicht so beweisen.

PS:

Wie erklären Sie abstrakt das Verbot, durch 0 zu definieren?

Ich kenne z.B. die sehr anschauliche Variante:

Versuche mal 5 Euro auf 0 Kinder zu verteilen!

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Ja, das ist OK und überzeugend

Das sollte es überhaupt nicht sein !
Meine Frage war rein rhetorisch gemeint und die angebliche Begründung gipfelt doch nur in der Wiederholung der Frage 3 des Fragestellers, diesmal als bewiesene Tatsache formuliert.
Mir ging es darum klarzumachen, dass die Aussage "ln 0 existiert nicht" nur eine äquivalente Umformung der Behauptung "e^x = 0 hat keine Lösung in ℝ" ist und deshalb nicht als ihre Begründung herhalten kann.

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und warum gibt es keine Definition ?

Was soll daran rhetorisch sein?

Sie erwarten doch eine Antwort.

Semantisch stehen rhetorische Fragen den Behauptungen nahe.

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Sie erwarten doch eine Antwort.

Nein, ich erwartete keine Antwort sondern die Einsicht, die ich in meinem letzten Kommentar dargelegt habe.

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Ich habe es soweit verstanden. Danke.

Es fehlt noch die Antwort auf diese Zusatzfrage:

Wie erklären Sie abstrakt das Verbot, durch 0 zu definieren?

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das Verbot, durch 0 zu definieren ist ja kein Verbot, das von irgendeinem König befohlen worden wäre. 5 Euro auf 0 Kinder zu verteilen würde ich dadurch lösen, dass kein Kind etwas bekommt (es ist ja keins da), also Antwort : 0 Euro.

Die Anzahl der Möglichkeiten, 5 Kinder in einer Reihe aufzustellen ist 5!, trotzdem kann man 0! = 1 definieren, ohne sich Gedanken darüber machen zu müssen, wie viele Möglichkeiten es denn gäbe, 0 Kinder in einer Reihe aufzustellen. Die Definition 0! = 1 ist sinnvoll, sie kollidiert nicht mit irgendwelchen früheren Definitionen oder mit alten Rechengesetzen.

Nächstes Beispiel : Ist es verboten, 0 mit 0 zu potenzieren ? Die Potenz 0^0 ist zunächst nicht erklärt und die Frage muss also lauten : Gibt es eine sinnvolle Definition für 0^0 ?
Infrage kämen die Definitionen 0^0 = 0 oder auch 0^0 = 1 . In beiden Fällen müsste aber auf die Erweiterung von " a^b = c  ⇔  b*ln a = ln c " auf den Fall a=0 verzichtet werden. Nun ist jedoch die zweite Möglichkeit in vielen Fällen (z.B. bei Potenzreihen) praktisch und wird oft so benutzt, man beachte aber, dass " 0^0 = 1 " nicht bewiesen werden kann.

Jeder Versuch einer sinnvollen Definition der Division durch 0 kollidiert jedoch mit der Forderung, dass a/b = c  ⇔  a = b*c sein soll, weshalb auf eine solche Definition verzichtet wird.

Die Eingangs-Frage 3 kann nur durch Rückgriff auf die Definition der Exponentialfunktion aber nicht auf ihre (womöglich vorhandene) Umkehrung beantwortet werden.

Answer 2

Frage 1: Geben sie an, um welches Vielfache der Funktionswert abnimmt, wenn x um 2 erhöht wird!

0.94^2 - 1 = -0.1164

Der Funktionswert nimmt um das 0.1164-fache ab.

Frage 2: Geben sie an, um wieviel % der Funktionswert abnimmt, wenn x um 3 erhöht wird!

0.94^3 - 1 = -0.169416 = -16.9416%

Der Funktionswert nimmt um ca. 16.94% ab.

Comments

Vielen Dank!

Kannst du mir noch sagen, warum man da bei beiden -1 rechnet? Danke

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Du vergleichst immer mit den Vorherigen 100% = 1 um zu sehen um wieviel es abgenommen hat.