Berechnen Sie Basiswechselmatrizen [idℂ]E,B und [idℂ]B,E.

Question

Aufgabe:

Basis B = {(i, 1), (-i, 1)} und Basis E = {(1,0), (0,1)}.

Berechnen Sie Basiswechselmatrizen [id_ℂ]_E,B und [id_ℂ]_B,E.

Problem/Ansatz:

1) Habe für [idℂ]E,B = \( \begin{pmatrix} -0,5i & 0,5 \\ 0,5i & 0,5 \end{pmatrix} \).

Stimmt das?

2) Müsste die andere nicht einfach Habe für [idℂ]E,B = \( \begin{pmatrix} i & -i \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) sein, da die Standardbasis ja schon vorliegt oder ist sie gleich der anderen, also [id_ℂ]_E,B = [id_ℂ]_B,E?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank für die Hilfe!

Comments

Es hängt davon ab, was mit dem Index gemeint ist, bedeutet \([id]_{P,Q}\) Koeffizienten bezüglich P werden auf Koeffizienten bezüglich Q abgebildet oder umgekehrt?

Answer 1

Aloha :)

Ich weiß nicht, welche Notation ihr vereinbart habt, daher schreibe ich die Eingangsbasis als Index rechts und die Ausgangsbasis als Index links auf.

Die Koordinaten der Vektoren aus \(B\) sind bezüglich der Standardbasis \(E\) angegeben, denn eine andere Basis ist bei der Definition von \(B\) nicht bekannt. Damit weißt du, wie die Basisvektoren von \(B\) in \(E\) aussehen und die Übergangsmatrix von \(B\) nach \(E\) enthält die Basisvektoren von \(B\) als Spalten:$${_E}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rr}i & -i\\1 & 1\end{array}\right)$$

Die Übergangsmatrix von \(E\) nach \(B\) ist die Inverse:$${_B}\mathbf{id}_E=\left({_E}\mathbf{id}_B\right)^{-1}=\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{rr}1 & i\\-1 & i\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr}-i & 1\\i & 1\end{array}\right)$$