Bestimmen Sie alle Nullstellen des folgenden Polynoms

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Nullstellen des folgenden Polynoms:

\( \mathrm{p}(\mathrm{x})=x^{4}-4 x^{2}+5 \)

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand erklären bzw. Ansätze liefern, wie ich die Nullstelle von Polynomen bestimmen kann, wo ein Grad fehlt?

Ich weiß das man mit der P-Q- Formel, Horner- Schema bestimmen kann, leider steh ab und zu noch auf den Schlauch.

Danke im voraus.

Comments

Reelle Nullstellen gibt es keine.

Answer 1

Substituiere \(z=x^2\), dann geht das Polynom \(p\)

über in \(q=z^2-4z+5\). Suche nach dessen Nullstellen.

Nun ist die Diskriminante \((-4)^2-4\cdot 5=16-20 < 0\).

Also gibt es keine reelle Nullstelle von \(q\) und damit

auch keine von \(p\).

Answer 2

\( p(x)=x^4-4x^2+5\)     

\( x^4-4x^2+5=0\)   

\( x^4-4x^2=-5\) 

\( (x^2-\frac{4}{2})^2=-5+(\frac{4}{2})^2=-5+4=-1=i^2   | \sqrt{~~}\)

1.)\( x^2-2=i \)

\( x^2=2+i | \sqrt{~~}  \)

\( x_1,_2= +- \sqrt{2+i}  \)

2.)\( x^2-2=-i \)

\( x^2=2-i  \)

\( x_3,_4=+- \sqrt{2-i}  \)

Die Wurzeln kannst du nun noch umformen.

Alle Lösungen sind ∈ ℂ.

Answer 3

Substituiere z= x^2

z^2-4z+5 =0

z1/2 = 2+-√(4-5)

->keine Lösung, da Wurzel negativ.

Oder soll es -5 lauten?