Welche Relationspaare muss man hinzufügen, damit die Relation reflexiv ist?

Question

Aufgabe:

Sei Z6= {1,2,3,4,5,6} und R eine Relation auf Z6x Z6 definiert durch R= {(2,1); (6,4); (4,6); (3,2); (3,3); (1,4)} bzw. in Eingabeschreibweise R = {21,64,46,32,33,14). Welche Relationspaare muss man hinzufügen, damit die Relation reflexiv ist?

Hinweis: Geben Sie bei dieser Aufgabe und bei (b) und (c) die Relationspaare (Xi, Yi) in der Form xiyi an, d. h. als natürliche zweistellige Zahl. Aus der Menge {(5,3);(4,2)} wird demzufolge bei der Eingabe die Menge {53, 42} (oder auch {42; 53}).

Problem/Ansatz:

(11; 22; 44; 55; 66)

(b) Welche Relationspaare muss man bei der in (a) definierten Relation R hinzufügen, damit die Relation symmetrisch ist?

(14, 41, 23, 64)

(c) Welche Relationspaare muss man bei der in (a) definierten Relation R hinzufügen, damit die Relation transitiv ist?

- hier hab ich gar keine Idee

a) müsste richtig sein, b) bin ich mir unsicher und bei c) leider gar keine Idee

Answer 1

Hallo hoever!

Die Relation R ⊆ Z6xZ6 heißt reflexiv, wenn ∀x₋∈ Z6 : (x,x)∈R, somit fehlen hier wie du schon richtig erwähnt hast (1,1), (2,2), (4,4), (5,5) und (6,6)

Zur Symmetrie: Hier muss ∀x,y₋∈ Z6 : (x,y)∈R ⇒ (y,x)∈R. Also musst du nur nachschauen ob das Tupel enthalten ist, wenn man x und y vertauscht. Beispielsweise ist (2,1)∈R aber (1,2)∉R. Das überprüfst du für alle Elemente in R.

Zur Transitivität: Hier muss ∀x,y,z₋∈ Z6 : (x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ⇒ (x,z)∈R. Kleines Beispiel wieder. Wir wissen, dass (2,1)∈R ∧ (1,4)∈R. Für die Transitivität müsste dann auch (2,4)∈R sein. In diesem Beispiel waren x = 2, y = 1 und z = 4. Wiederum spielst du das für alle Elemente durch die in der gegebenen Menge aus a) enthalten sind.

Falls noch fragen offen sind, dann gleich her damit :)

Comments

Ok, Symmetrie habe ich geschafft!

Aber bei der Transitivität komme ich nicht mehr weiter. Folgende Kombis habe ich schon:

15,45,52,12,25,35,65,56

Irgendwas soll da dennoch noch fehlen. Ich kann mir nicht vorstellen, dass da noch weitere hinzukommen. Also ist da was falsch denke ich mal. Was?

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Du musst bei der Transitivität nicht alle drei Tupel hinzufügen. Du überprüfst nur für die Elemente die in der Menge sind, ob es da Tupel gibt für die gilt, dass (x,y) ∈ R ∧ (y,z) ∈ R und dann fügst du falls nicht vorhanden das Tupel (x,z) hinzu. Also schau: (6,4)∈R ∧ (4,6)∈R, also du hast jetzt zwei solcher Tupel gefunden bei denen die Bedingung gilt und jetzt müsste man überprüfen ob auch (6,6)∈R ist? Ist es nicht? Dann fügt man es hinzu :) Du musst dir also nicht irgendwelche Zahlen ausdenken für die das gilt, sonder einfach die bereits vorhandenen Elemente überprüfen :)

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Na schön, ich habe das jetzt so gemacht. Leider sind die Eingaben dennoch nicht so ganz richtig.

Der sagt mir, dass (24; 66; 44; 31; 16) falsch sein. Übersehe ich da immer noch was? Falls ja, was?

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Da musst du mir erklären, weshalb du 44, 31 und 16 für die Transititvität hinzufügst?

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Gegeben ist R = {21,64,46,32,33,14}.

Und es gilt (x,y) ∈ R ∧ (y,z) ∈ R : (x,z)

(2,1)∈ R∧ (1,4)∈ R. Also muss man (2,4) hinzufügen.

Daher kommt die 24.

(4,6) ∈ R ∧ (6,4) ∈ R. Also muss man (4,4) hinzufügen.

Daher kommt die 44.

Rest genau so.

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Gut :) Mich würde jetzt nur interessieren was hier nicht passt. Eigentlich solltest du jetzt alle Paare gefunden haben, sodass die Transitivität gilt. Mir persönlich würden nun auch keine weiteren Paare mehr einfallen.

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Also (24; 66; 44; 31; 16) zeigt er mir als falsches Ergebnis an

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Wer ist denn "er"?:D Vielleicht musst die Antwort als Tupel angeben, sprich: (2,4), (6,6), ...

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Nee, das ist ein Online System, wo wir unsere Lösungen eintragen können.

Bei der Symmetrie hat er die Schreibweise ja auch so akzeptiert

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Ich glaube, da fehlt noch ein Paar. Könntest du das vielleicht ganz schnell nachrechnen?

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Habs nachgerechnet und komm selbst nur auf die 5 Paare.

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Das einzige was du noch versuchen könntest wäre, dass du 32, mit aufnimmst, obwohl das schon enthalten ist. Ansonsten gäbe es keine weiteren Paare.