Warum kann man die Umkehrung des Produkts mit 11 immer auch durch 11 teilen? Beweis

Question

Beispiel :

11 x 15 = 165

561 : 11 = 51

oder

11 x 83 = 913

319 : 11 = 29

Die Umkehrung des Produkts mit 11 kann man immer auch durch 11 teilen.

Suche einen allgemeinen Beweis !

Danke

Comments

Hi,

die Teilbarkeitsregel für 11 ist "Wenn die alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist, dann auch die Zahl".


Bei uns als Bsp.: 165 -> 1-6+5 = 0 (teilbar durch 11)

"Andersrum" 561 -> 5-6+1 = 0


Oder: 913 -> 9-1+3 = 11

319 -> 3-1+9 = 11


Bei ungeradzahligen Zahlen dürfte das recht simple sein.

o.B.d.A. für dreistellige gezeigt:

a-b+c = c-b+a


Für geradzahligen Zahlen:

o.B.d.A. für vierstellige gezeigt:

a-b+c-d = (a+c) - (b+d)

d-c+b-a = (d+b) - (a+c) = -( (a+c) - (b+d) )

Das heißt es verändert sich nur das Vorzeichen. Das tut der Teilbarkeit keinen Abbruch.


q.e.d (?)


Da ich nicht zu 100% sicher bin, ob ich einen Logikfehler drin habe, vorerst nur als Kommentar bis Du oder sonst wer eine Bestätigung hinterher schickt :D.


Grüße

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Ich suche einen exakten Beweis für diesen

interessanten Sachverhalt ( alternierende Quersumme ).

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@gast bh61: https://de.wikipedia.org/wiki/Neuner-_und_Elferprobe#Quellen gibt einen Hinweis auf den mathematischen Hintergrund für die Elferprobe.
Hoffe, dass du mit 'modulo'-Rechnungen klar kommst. Ansonsten kannst du da sicher einen Induktionsbeweis dazu hinschreiben.

Answer 1

Da keine Widerworte kamen als Antwort:

Die Teilbarkeitsregel für 11 ist "Wenn die alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist, dann auch die Zahl".

Bei uns als Bsp.: 165 -> 1-6+5 = 0 (teilbar durch 11)

"Andersrum" 561 -> 5-6+1 = 0

Oder: 913 -> 9-1+3 = 11

319 -> 3-1+9 = 11

Bei ungeradzahliger Anzahl an Ziffern dürfte das recht simple sein.

o.B.d.A. für dreistellige gezeigt:

a-b+c = c-b+a

Für geradzahlige Anzahl an Ziffern:

o.B.d.A. für vierstellige gezeigt:

a-b+c-d = (a+c) - (b+d)

d-c+b-a = (d+b) - (a+c) = -( (a+c) - (b+d) )

Das heißt es verändert sich nur das Vorzeichen. Das tut der Teilbarkeit keinen Abbruch.

q.e.d

Grüße

Comments

Was sind denn ungeradzahlige und geradzahlige Zahlen?

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Sry das ist in der Tat unglücklich formuliert. Ich bezog mich dabei auf die Anzahl der Stellen. Ich korrigiere das mal eindeutiger ;).