Warum sollte Det(B) = 0 und rang (B) n falsch sein?

Question

Aufgabe: Sagen wir, wir haben Matrix A und B und beide sind ähnliche Matrixen in Mat(n x n ; K) und A ist invertierbar.

Warum sollte Det(B) = 0 und rang (B) < n falsch sein?

Ich dachte, dass wenn die Determinante 0 ist, besitzt die Matrix nicht vollen Rang und da "n" der volle Rang wäre, wäre die Aussage doch eig. Richtig oder trügen mich meine Sinne?

Answer 1

Ähnliche Matrizen haben die gleiche Determinante.
Ist also A invertierbar, dann \(\det(B)=\det(A)\neq 0\).

Comments

Gibt es sonst noch Eigenschaften, die sich Übertragen lassen?

Also gilt bei ähnlichen Matrizen:

1) Ist A Invertierbar: folgt das b invertierbar sein muss:

2) Besitzt a vollen Rang, so besitzt b vollen Rang.

3) det(a) = det(b) ≠ 0

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@PeterMagMathe

Es ist sogar "genau dann wenn".

Beachte einfach folgendes:
\(T\) invertierbar \(\Rightarrow \det (TAT^{-1}) = \det T \cdot \det A \cdot \det T^{-1} = \det A\)