Euklids Außenwinkelsatz

Question

Aufgabe: Beweise mithilfe des Außenwinkelsatzes von Euklid, dass zwei innenwinkel in einem Dreieck nicht gleich zwei rechte Winkel sein kann.

Lösungsskizze:

Ich habe mir folgende Beweisidee überlegt und wüsste gerne, ob sie zielführend ist:

Sei ABC ein beliebiges Dreieck. Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass die Winkel bei A und B jeweils rechte Winkel sind. Dann Muss der Winkel bei C ein spitzer Winkel sein, da die Winkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt. Der Außenwinkelsatz besagt, dass 180-α=β+γ=α'.

-> 90°+90°=180°=α', demnach ist α=0°, was aber nicht sein kann, da ein Innenwinkel nicht 0° betragen kann.

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Habe als skizze so etwas, meint ihr man kann damit arbeiten? Oder habt ihr eventuell Tipps für mich? :D

Answer 1

da die Winkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt.

Wenn du das verwenden dürftest, dann könntest du argumentieren, dass bei zwei rechten Innenwinkeln der dritte Innenwinkel 0° ist.

Comments

Und wie würde man das machen, wenn man nur den Satz von euklid benutzen dürfte? Also wenn man quasi annehmen würde, es gäbe ein Dreieck mit einer Winkelsumme von über 180°

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Sei \(\alpha\) ein Innenwinkel im Dreieck. Die beiden anderen Innenwinkel seien \(\beta\) und \(\gamma\).

Sei \(\alpha'\) ein Nebenwinkel von \(\alpha\).

Dann ist

(1)        \(\alpha + \alpha' = 180°\)

weil Nebenwinkel. Außerdem ist

(2)        \(\beta + \gamma = \alpha'\)

wegen Außenwinkelsatz.

Ist nun \(\beta = \gamma = 90°\), dann ist \(\alpha' = 180°\) wegen (2) und somit \(\alpha = 0°\) wegen (1).

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Danke dir :)