Überprüfe, ob der Körper durch die Relation definiert wird.

Question

Ich muss im Sinn einer Kryptologie-Vorlesung folgendes überprüfen:

a) Überprüfen Sie, dass durch die Relation

\( \alpha^{4}=\alpha+1 \)
der Körper \( \mathbb{F}_{16} \) definiert werden kann.

Problem/Ansatz: Ich weiß, dass der char(K) = 2 ist und dass ich anhand der Relation bis a^16 ableiten muss. Mir ist jedoch nicht klar wie genau ich das mache und wie es sich mit der Arithmetik verhält.

Answer 1

Zeige, dass \(X^4+X+1\) über \(\mathbb{F}_2\) irreduzibel ist.

Comments

Wie genau macht man das?

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Wenn das Polynom keine Nullstelle hat, kann es höchstens

als Produkt zweier Polynome vom Grad 2 zerfallen.

Also nimm an, es wäre

\(X^4+X+1=(X^2+aX+b)\cdot (X^2+cX+d)\).

Koeffizientenvergleich liefert dir dann Gleichungen

für \(a,b,c,d\), die in \(F_2\) nicht zugleich gelten können.

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Zeige, dass \(X^4+X+1\) über \(\mathbb{F}_2\) irreduzibel ist.

Sollte das nicht  X⁴ - X - 1  sein ?

(Oder spielt das gar keine Rolle ?)

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wir wissen, dass die Charakteristik 2 ist,

also \(+1=-1\) ist.

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Ja, hab ich dann auch gleich gemerkt (Algebra-Vorlesungen sind schon lange her). Man könnte also auch sagen, dass die Operationen Addition und Subtraktion in  F₂  übereinstimmen.

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..., dass die Operationen Addition und Subtraktion in F2  übereinstimmen.

ja. So "merke" ich mir das auch immer :-)