Aloha :)
Falls die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) ein Extremum hat, folgt daraus \(f'(x_0)=0\):$$f(x_0)\text{ ist Extremum}\implies f'(x_0)=0$$
Im Umkehrschluss heißt das, wenn \(f'(x_0)\ne0\) ist, ist bei \(f(x_0)\) sicher kein Extremum:$$f'(x_0)\ne 0\implies f(x_0)\text{ ist kein Extremum}$$
Das heißt, die Bedingung \(f'(x_0)=0\) ist eine notwendige Bedinung. Wenn sie verletzt ist, liegt mit Sicherheit kein Extremum vor. Nur wenn die Bedingung \(f'(x_0)=0\) erfüllt ist, kann bei \(x_0\) ein Extremum vorliegen, muss aber noch nicht.
Die Lösungen der Gleichung \(f'(x)=0\) sind daher nur Kandidaten für ein Extremum.
Damit du diese Kandidaten tatsächlich als Extrema einstufen kannst, muss noch mindestens eine der folgenden hinreichenden Bedingunen erfüllt sien:
1) \(f''(x_0)\ne0\quad;\quad f''(x)\left\{\begin{array}{c}<0 \implies\text{Maximum}\\>0\implies\text{Minimum}\end{array}\right.\)
\(\phantom M\)Wenn \(f''(x_0)=0\) ist, musst du ein anderes hinreichendes Kriterium wählen.
2) Vorzeichenwechsel (VZW) der ersten Ableitung bei \(x_0\):$$\quad\text{VZW}\left\{\begin{array}{c}+\to-\implies\text{Maximum}\\-\to+\implies\text{Minimum}\end{array}\right.$$
\(\phantom M\)Wenn kein VZW stattfindet, liegt auch kein Extremum vor.
3) Die Ordnung \(n\) der ersten für \(x_0\) nicht-verschwindende Ableitung \(f^{(n)}(x_0)\) ist gerade.
\(\phantom M\)\(f^{(n)}(x_0)<0\implies\text{Maximum}\) bzw. \(f^{(n)}(x_0)>0\implies\text{Minimum}\)
\(\phantom M\)Wenn die Ordnung \(n\) ungerade ist, liegt kein Extremum vor.
\(\phantom M\)Kriterium 1) ist ein Spezialfall von Kriterium 3)
Beispiele:
$$f(x)=x^3\implies f'(x)=3x^2\implies f''(x)=6x\implies f'''(x)=6$$
Wir erhalten einen Kandidaten, denn \(f'(x_0)\stackrel!=0\) ist nur für \(x_0=0\) erfüllt.
Wegen \(f''(0)=0\) können wir mit der 2-ten Ableitung keine Prüfung vornehmen.
Wegen \(f'(x)=3x^2\ge0\) wechselt das Vorzeichen bei \(x_0=0\) nicht, also liegt kein Extremum vor.
Wegen \(f'''(0)=6\) ist die Ordnung der ersten nicht-verschwindenden Ableitung 3, also kein Extremum.
$$f(x)=x^4\implies f'(x)=4x^3\implies f''(x)=12x^2\implies f'''(x)=24x\implies f''''(x)=24$$
Wir erhalten einen Kandidaten, denn \(f'(x_0)\stackrel!=0\) ist nur für \(x_0=0\) erfüllt.
Wegen \(f''(0)=0\) können wir mit der 2-ten Ableitung keine Prüfung vornehmen.
Wegen \(f'(x)=4x^3\) wechselt das Vorzeichen bei \(x_0=0\) von - nach +, also liegt ein Minimum vor.
Wegen \(f''''(0)=24\) ist die Ordnung der ersten nicht-verschwindenden Ableitung 4, also liegt ein Extremum vor. Wegen \(f''''(0)>0\) handelt es sich um ein Minimum.
