Stammfunktion durch Formansatz bestimmen

Question

Aufgabe:

Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.

Aufgabe: Bestimmen Sie mit Hilfe eines Formansatzes eine Stammfunktion von f.

\(f(x)= 2x*e^{0,5x}\)

Ansatz: \(F(x)= e^{0,5x}\cdot(0,5ax+a+0,5b)\)

Für a=4 und b=-8

Stammfunktion: \(e^{0,5x}\cdot(2x-2)\)

Leider stimmt die Ableitung nicht mit f(x) überein.

Über eine Lösung würde ich mich freuen, danke!

Answer 1

\(F(x)=\left(ax+b\right)e^{0,5x}\)

Bestimme \(F'(x)\).

Bestimme \(a\) und \(b\) so, dass \(F'=f\) ist.

Comments

\(F'(x)= e^{0,5x}\cdot(0,5ax+a+0,5b)\)

Für a=4 und b=-8

Ist die Ableitung so richtig?

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Die Lösung stimmt:

Zur Kontrolle:

http://www.zeno.org/Georges-1913/A/optio?hl=optio

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Wenn ich a und b einsetze, komme ich auf die Stammfunktion:

\(e^{0,5x}\cdot(2x-2)\)

Wenn ich diese Funktion aber ableite, komme ich irgendwie nicht auf

\(f(x)= 2x*e^{0,5x}\)

sondern

\(f(x)=e^{0,5x}\cdot(x-1)\)

---

Wenn du einsetzt, kommst du auf (4x-8)*e^(0,5x) als Stammfkt.

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\(F'(x)= e^{0,5x}\cdot(0,5ax+a+0,5b)\)

Die Ableitung ist richtig.

Für a=4 und b=-8

Dann ist \(F'=f\).

Wenn ich a und b einsetze, komme ich auf die Stammfunktion:

\(e^{0,5x}\cdot(2x-2)\)

Wenn ich \(a=4\) und \(b=-8\) in \(F(x)=\left(ax+b\right)e^{0,5x}\) einsetze, komme ich auf die Stammfunktion

        \(F(x) = \left(4x-8\right)e^{0,5x}\).

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Jetzt sehe ich meinen Fehler.

Ich habe a und b in

\(F'(x)= e^{0,5x}\cdot(0,5ax+a+0,5b)\) eingesetzt statt in die Stammfunktion.

Vielen Dank für deine Hilfe!

Answer 2

F '(x)=\( \frac{a}{2} \)·e^0,5x+\( \frac{e^{0,5x}}{4} \)·(ax+2a+b)

Hier sieht man, dass a=8 sein muss. Setzt man a=8 ein und formt etwas um, dann erhält man 2x·e^0,5x+\( \frac{e^{0,5x}}{4} \)·(b+32). Der zweite Summand ist für b=-32 genau Null.