Aufleiten einer funktion mathe

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz wie kann man 0,5xe^(x^2) aufleiten. Weil unsere Lehrerin hat mir als Korrektur was dazugeschrieben, was ich nicht gebau verstehe :(

Ohne substitution oder partielle Integration

Comments

Hier mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Beim "Aufleiten" - unbestimmten Integrieren - sind Substitution und partielle Integration die absoluten Hauptmethoden.

Wenn du diese Techniken nicht verwenden willst bzw. kannst, bleibt dir im wesentlichen nur übrig, durch vieles Differenzieren ein geübtes Auge zu bekommen, um Ausdrücke, die Ableitungen darstellen, schnell zu erkennen.

Integrieren wir also \(f(x)= 0.5xe^{x^2}\) nur durch "Gucken".

Wir wissen (und hoffentlich du spätestens ab jetzt auch), dass $$\left(e^{\text{irgendwas}}\right)' = (\text{irgendwas})'\cdot e^{\text{irgendwas}} $$

Also probieren wir mal, was rauskommt, wenn wir \(e^{x^2}\) ableiten:

$$\left(e^{x^2}\right)' = (x^2)'e^{x^2}= 2xe^{x^2}$$

Na das sieht doch fast aus wie die Funktion, die wir integrieren sollen.

Haben: \(2xe^{x^2} \Rightarrow\) Wollen: \( \underbrace{0.5}_{=\frac 12} xe^{x^2}\)

Es fehlt also nur ein Faktor, denn

$${\color{blue}{\frac 14\cdot}}2xe^{x^2} = \frac 12xe^{x^2} \Rightarrow \boxed{\left({\color{blue}{\frac 14\cdot}}e^{x^2}\right)' = \frac 12xe^{x^2}}$$

Wir haben also mit der Guckmethode gefunden:

$$\int 0.5xe^{x^2}\, dx = \frac 14e^{x^2} + C$$

Comments

Vielen vielen vielen Dank :)

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geht diese Methode immer

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Gerne, Gerne.
Und immer schön Weiterüben und Weiterfragen. 8-)

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Ob die Methode immer geht? Theoretisch ja. Aber du musst dafür megagut im Sehen von Ableitungen sein.

Aber oft fehlt nicht nur ein Faktor sondern man muss die Funktion viel stärker manipulieren. Und genau das führt dann auf die Techniken der Substitution und der partiellen Integration.

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eine frage hätte ich noch. Ging diese Methode auch bei der Funktion beispielsweise 24x^2*(2x^3-4)^4

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Aber haargenau funktioniert das da auch. Probier erstmal selbst.

Ich geb dir schonmal den Tipp:

Leite erstmal \((2x^3-4)^5\) ab (Kettenregel). Dann bekommst du etwas, was wieder bis auf einen Faktor wie deine Funktion aussieht.

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Also wenn ich (2x^3-4)^4 ableite, bekomme ich 24x^2*(2x^3-4)^3.

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was bedeutet mr fehlt der Faktor 2x^3-4

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Du musst aber \((\ldots )^5\) ableiten. Denn die Funktion, die du integrieren möchtest, hat den Exponenten 4.

$$ \left((\text{irgendwas})^5\right)' = (\text{irgendwas})'\cdot 5\cdot (\text{irgendwas})^4$$

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Ahh. Jetzt hab ich es verstanden :).

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Sehr gut. Klarer Fall von Heldentum! :-)

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geht diese Methode immer

Nur unter besonderen Bedingung im Exponenten und wenn der Vorfaktor "passt".

f(x)= x^2e^(x^2)

Hier gehts schon wieder nicht. Kleine Veränderung, große Wirkung.